Question

若函数y=(1/2)^x²-(a-2)x+1存在反函数（x属于【0，正无穷）），则实数a的范围

Answer 1

反函数存在的充要条件是该函数在指定的区间内是一对一的函数。
函数y=(1/2)^x²-(a-2)x+1在(-∞,a-2]上是单调减函数，在[a-2,+∞)上是单调增函数
要使函数在【0，正无穷）上存在反函数，则y=(1/2)^x²-(a-2)x+1在【0，正无穷）
上只能是单调增函数
所以在数轴上表示a-2的点必须在0的右边或与0重合
即实数a的取值范围是a≥2.

追问

题目你搞错了。。那个x²-(a-2)x+1是在右上角的系数。。。。。

追答

反函数存在的充要条件是该函数在指定的区间内是一对一的函数。
函数y=(1/2)^[x²-(a-2)x+1]由y=(1/2)^t与t= x²-(a-2)x+1复合而成。
函数t= x²-(a-2)x+1在(-∞,(a-2)/2]上是单调减函数，在[(a-2)/2,+∞)上是单调增函数
而函数y=(1/2)^t是单调递减的，
所以函数y=(1/2)^[x²-(a-2)x+1] 在(-∞,(a-2)/2]上是单调增函数，在[(a-2)/2,+∞)上是单调减函数。
要使函数y=(1/2)^[x²-(a-2)x+1]在【0，正无穷）上存在反函数，则y=(1/2)^[x²-(a-2)x+1]在【0，正无穷）上只能是单调减函数，
所以在数轴上表示(a-2)/2的点必须在0的左边或与0重合
即实数a的取值范围是a≤2.

Answer 2

1，单调性由函数的导数决定。
f(x)的导函数f`(x)=a-2/x^3
当f`(x)大于0时，函数单调递增；小于0时，函数单调递减。
2，f（x）在3到正无穷为增，意思就是导函数f`(x)在那个区间>0
令f`(3)>=0，解得a>=2/27.
7月H0