Question

设a为实数,函数f(x)=e^x-2x+2a,x∈R,

求证当a＞ln2-1,x＞0时，e^x＞x^2－2ax+1

Answer 1

当a＞ln2-1，f(x)=e^x-2x+2a>e^x-2x+2In2-2令H（x）=e^x-2x+2In2-2,H'(x)=e^x-2在（0，ln2]小于等于0（H（x）的减区间），[ln2,+无穷）大于等于0（H（x）的增区间），H（x）min=H(In2)=0,所以f(x)=e^x-2x+2a>e^x-2x+2In2-2=H(x)>=0令F（x）=e^x-x^2+2ax-1,F'(x)=f(x)>0,所以F(x)在x＞0时恒为增函数，所以F（x）>F(0)=0,即e^x-x^2+2ax-1>0，即e^x＞x^2－2ax+1

Answer 2

证明：
【1】
构造函数g(x)=(e^x)-x²+2ax-1 x∈R
求导,g'(x)=(e^x)-2x+2a.
∴g'(x)=f(x)
【2】
函数f(x)=(e^x)-2x+2a. x∈R
求导，f'(x)=(e^x)-2.
由f'(x)=(e^x)-2=0可得x=ln2
且x＜ln2时，e^x＜e^(ln2)=2
x≥ln2时，e^x≥e^(ln2)=2
∴在(-∞,ln2)上，f'(x)＜0.此时f(x)在(-∞,ln2)上递减。
在[ln2,+∞)上，f'(x)＞0,此时f(x)在[ln2,+∞)上递增。
∴在x=ln2时，函数f(x)取得最小值，
f(x)min=f(ln2)=2-2ln2+2a=2(a-ln2+1)
∴当a＞ln2-1时，a-ln2+1＞0
即当a＞ln2-1时，f(x)min＞0
或者说，当a＞ln2-1时，g'(x)＞0
此时，函数g(x)在R上递增。
∴当x＞0时，恒有g(x)＞g(0) (易知g(0)=0)
即恒有(e^x)-x²+2ax-1＞0
∴当a＞ln2-1,且x＞0时，恒有：
e^x＞x²-2ax+1