Question

高数求极限的时候什么时候可以用等价无穷小代换，什么时候不可以？

如lim(x→0) (sinx/x+x)/(x+1)=? 能否直接代入 (1+0)/(0+1)=1呢？

Answer 1

这里可以代入，这就是极限的四则运算法则
但是如极限lim(x->0)(sinx-x)/x^3中是绝对不可以把sinx换成x计算的，原因是这两者是等价无穷小，如果替换则变成sinx-x~x-x=0, 即sinx-x~0, 这是错误的, 没有任何函数与0是等价的

Answer 2

用等价无穷小代换的大前提：用等价无穷小代换的量必须它本身就是无穷小。
原则：等价无穷小的代换，一定是要在乘除的情况下。对于加减的代换，必须是先进行极限的四则运算后，才可以考虑是否用等价无穷小代换，否则容易造成某些高阶无穷小，如：o(x) o(x²)的丢失，从而造成计算错误。

手打——monvilath

Answer 3

我们老师的说法是 乘除可以替换 加减不可以
无穷小量替换的依据是极限的四则运算性质中的乘除法性质
因此只能对乘除量进行替换 对加减量替换会产生错误
这里x→0时 sinx为无穷小量 且sinx/x是除法关系 可以替换

Answer 4

这里可以，0分之0，无穷分之无穷可以替换高阶无穷小~