Question

椭圆与直线相交问题

1、椭圆方程为x^2/4+y^2=1,A(2,0)和B(0,1)分别是两个顶点，直线y=kx(k>0)与线段AB相交与点D，与椭圆相交于点E和F，求四边形AEBF的面积的最大值？

2、椭圆方程为x^2/4+y^2=1,有一条直线y=kx+b和椭圆相交与点A和B，当|AB|=2,三角形OAB的面积为1时，求直线的方程？

Answer 1

第一问，考查的知识面较广。联系到了不等式的变化。

第二问，也可以用半径为1的圆的方程的切线来处理。此不多叙。附图。

你如果看不清小图，可以“点击放大图片”，【再把图片另存为】桌面，然后，才可以仔细预览或放大后再看，才行。

Answer 2

解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)直线把四边形分成两部分，直线下方的部分可以看
成是以OA=2为底，以|y1-y2|为高的三角形，直线上方的部分可以看成是以OB=1
为底，以|x1-x2|为高的三角形,所以四边形的面积
S=(1/2)*2*|y1-y2|+(1/2)*1*|x1-x2|
=(k+1/2)|x1-x2|=(k+1/2)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=2(2k+1)/√(1+4k²)
S²=4(4k²+4k+1)/(4k²+1)
4S²k²+S²=16k²+16k+4
(16-4S²)k²+16k+(4-S²)=0
△=16²-4(16-4S²)(4-S²) ≥0 (4-S²)²≤16
-4≤(4-S²)≤4 -4≤S²-4≤4 0≤S²≤8 0≤S ≤2√2
(2)S=(1/2)*|AB|*d=(1/2)*2*d=1 d=1
|b|/√(1+k)²=d=1, b²=1+k² (1)
直线与椭圆联立得（1+4k²）x²+8bkx+4b²-4=0
x1+x2=-8bk/(1+4k²) x1*x2=4(b²-1)/(1+4k²)
|AB|=√(1+K²)|x1-x2|=√(1+K²)*√[(x1+x2)²-4x1*x2]
=√(1+K²)*√[8*8b²k²/(1+4k²)²-16(b²-1)/(1+4k²)]=1 (2)
把(1)代人(2)得 12k²=1+4k² 8k²=1 k=±√2 / 4.
代人(1)得b²=1+k² = 1+1/8 = 9/8 b=±3√2 /4.
所以直线的方程为y=±√2 / 4 x+±3√2 /4。

Answer 3

设直线方程为x=my-2代入椭圆方程x²+4y²=4
整理：(m²+4)y²-4my=0
韦达定理：y1+y2=4m/(m²+4)
x1+x2=m(y1+y2)-4=-16/(m²+4)
根据题意-8/(m²+4)+6m/(m²+4)=0
解得m=4/3直线方程：x=4/3y-2即3x-4y+6=0