Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2,BC=3，点E为AD边上一动点（不与A、D重合），连接CE，作EF⊥CE交AB边于F。

1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）当△ECF∽△AEF，求AF的长；
（3）在点E的运动过程中，AD边上是否存在异于点E的点G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，请猜想点G的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由。问题补充：

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=3/2，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF3/2：=3/2：2，
∴AF=9/8；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．

Answer 2

1.<D=<E, <DCE=90-<CED=<AEF, △AEF∽△DCE
2.设DE=x, 则AE=3-x, AF=(3-x)x/2
CE=V(4+x^2) EF=(3-x)V(4+x^2)/2
EF:CE=x/2
(3-x)/2=x/2 x=3/2
AF=3/2*3/2/2=9/8
3.<CEF=90, 如<CGF=90则可。条件是CF为直径的圆交于AD EG两点
即ECF不为等腰直角时存在。

Answer 3

1．
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角　角　角)　证毕。
2．
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答：AF的长度为9/8。
3．
存在G点。
设：AF= a　且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2　　0＜a≤9/8
当0＜a＜9/8时 AG1大于1.5 小于3， AG2大于0小于1.5，
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A，那么G点可靠近D。证毕。

Answer 4

∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角　角　角)　证毕。
2．
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答：AF的长度为9/8。
3．
存在G点。
设：AF= a　且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2　　0＜a≤9/8
当0＜a＜9/8时 AG1大于1.5 小于3， AG2大于0小于1.5，
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A，那么G点可靠近D。证毕