八年级奥数及答案
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v乙•t2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷（八年级）
（2009年3月22日上午9：00~11：30）
喻老师整理
一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置
题号 1 2 3 4 5 6 得分
正确选项
1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则
A、构成等边三角形 B、构成直角三角形
C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上
解：AB的解析式为y=13 x+73
当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D
2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、12
解 设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20， a≥7，
又b+c＞a，2a＜20 a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）
有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）
（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C
3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（ ）
A、3 B、6 C、9 D、0
解 31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C
4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ）
A、120° B、135° C、150° D、以上都不对
解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A
易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k，
PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°
且PP’=22 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,
∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135° 选B
5、在函数y= -a2+1x （a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-14 ，y2）（12 ，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A、y1＜y2＜y3 B、y3＜y2＜y1 C、y3＜y1＜y2 D、y2＜y1＜y3
∵-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2
又∵（-1，y1）在第二象限，而（12 ，y3）在第四象限，∴y3＜y1 选C
6、已知a+b+c≠0，且a+bc =b+ca =a+cb =p，则直线y=px+p不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
解
因此，直线y=px+p不可能通过第四象限，选D
二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置
题号 7 8 9 10 得分
正确答案
7、如果a是方程x2-3x+1=0的根，那么分式2a5-6a4+2a3-a2-13a 的值是 ；
解 根据题意a2-3a+1=0，原式=2a3(a2-3a+1)-(a2+1)3a =-a2+13a =-1，∴填-1
8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多 ；
解 设跑道实际长为x米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终点1米时说花的时间为t，=x-2，于是v甲v乙 =x-1x-2
又设甲到达终点时所花的时间为t’则v甲•t’=x，v乙•t’=x-1.01
于是v甲v乙 =xx-1.01 ，因此可得方程x-1x-2 =xx-1.01 ，解得x=101米，
因此，这条跑道比100米多1米，填1
9、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是 ；
解 有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S’0, S1=S’1,
且S0S1 =32 即2S0=3S1,
又2S0+S1=152 即3S1+ S1=152 , S1=258 S0=4516
又S2+S1=2,∴S2=5-S1=258 填258
10、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为 ；
解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，233 ，1
即所求比为2：233 ：1，填2：233 ：1
三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）
11、已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
求证：△CMN是等边三角形
证明：∵△ACD≌△BCE
∴AD=BE,AM=BN ……6分
又∵△AMC≌△BNC
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分
又∠NCM=∠BCN-∠BCM
∠ACB=∠ACM-∠BCM
∴∠NCM=∠ACB=60°
∴△CMN是等边三角形 ……20分
12、已知n是大于1的整数
求证：n3可以写出两个正整数的平方差
证明：n3=（n2 ）2•4n ……8分
=（n2 ）2[(n+1)2-（n-1）2] ……15分
=[n2 (n+1)]2-[n2 (n-1)]2 ……20分
∵n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除
∴n2 (n+1)，n2 (n-1)均为正整数
因此，命题得证 ……25分
13、已知正整数x、y满足条件：2x +1y =a，（其中，a是正整数，且x＜y）
求x和y
解 ∵x≥1，y≥2，2x +1y ≤2+12 ，即a≤212
因此a=1或a=2
当a=1是，2x +1y =1，若x=1，则1y =-1，与y是正整数矛盾，∴x≠1，
若x=2，则1y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠2
若x≥3，则2x +1y ≤23 +14 ＜1，与2x +1y =1矛盾，∴x＜3
综上所述，a≠1
当a=2时有2x +1y =2，若x=1，则1y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠1
若x≥3，则2x +1y ≤23 +14 ，与2x +1y =2矛盾，∴x＜3
因此1＜x＜3，∴x=2，y=1
（2009年3月22日上午9：00~11：30）
喻老师整理
一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置
题号 1 2 3 4 5 6 得分
正确选项
1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则
A、构成等边三角形 B、构成直角三角形
C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上
解：AB的解析式为y=13 x+73
当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D
2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、12
解 设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20， a≥7，
又b+c＞a，2a＜20 a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）
有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）
（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C
3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（ ）
A、3 B、6 C、9 D、0
解 31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C
4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ）
A、120° B、135° C、150° D、以上都不对
解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A
易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k，
PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°
且PP’=22 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,
∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135° 选B
5、在函数y= -a2+1x （a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-14 ，y2）（12 ，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A、y1＜y2＜y3 B、y3＜y2＜y1 C、y3＜y1＜y2 D、y2＜y1＜y3
∵-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2
又∵（-1，y1）在第二象限，而（12 ，y3）在第四象限，∴y3＜y1 选C
6、已知a+b+c≠0，且a+bc =b+ca =a+cb =p，则直线y=px+p不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
解
因此，直线y=px+p不可能通过第四象限，选D
二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置
题号 7 8 9 10 得分
正确答案
7、如果a是方程x2-3x+1=0的根，那么分式2a5-6a4+2a3-a2-13a 的值是 ；
解 根据题意a2-3a+1=0，原式=2a3(a2-3a+1)-(a2+1)3a =-a2+13a =-1，∴填-1
8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多 ；
解 设跑道实际长为x米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终点1米时说花的时间为t，=x-2，于是v甲v乙 =x-1x-2
又设甲到达终点时所花的时间为t’则v甲•t’=x，v乙•t’=x-1.01
于是v甲v乙 =xx-1.01 ，因此可得方程x-1x-2 =xx-1.01 ，解得x=101米，
因此，这条跑道比100米多1米，填1
9、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是 ；
解 有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S’0, S1=S’1,
且S0S1 =32 即2S0=3S1,
又2S0+S1=152 即3S1+ S1=152 , S1=258 S0=4516
又S2+S1=2,∴S2=5-S1=258 填258
10、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为 ；
解 设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，233 ，1
即所求比为2：233 ：1，填2：233 ：1
三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）
11、已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
求证：△CMN是等边三角形
证明：∵△ACD≌△BCE
∴AD=BE,AM=BN ……6分
又∵△AMC≌△BNC
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分
又∠NCM=∠BCN-∠BCM
∠ACB=∠ACM-∠BCM
∴∠NCM=∠ACB=60°
∴△CMN是等边三角形 ……20分
12、已知n是大于1的整数
求证：n3可以写出两个正整数的平方差
证明：n3=（n2 ）2•4n ……8分
=（n2 ）2[(n+1)2-（n-1）2] ……15分
=[n2 (n+1)]2-[n2 (n-1)]2 ……20分
∵n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除
∴n2 (n+1)，n2 (n-1)均为正整数
因此，命题得证 ……25分
13、已知正整数x、y满足条件：2x +1y =a，（其中，a是正整数，且x＜y）
求x和y
解 ∵x≥1，y≥2，2x +1y ≤2+12 ，即a≤212
因此a=1或a=2
当a=1是，2x +1y =1，若x=1，则1y =-1，与y是正整数矛盾，∴x≠1，
若x=2，则1y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠2
若x≥3，则2x +1y ≤23 +14 ＜1，与2x +1y =1矛盾，∴x＜3
综上所述，a≠1
当a=2时有2x +1y =2，若x=1，则1y =0，与y是正整数矛盾，∴x≠1
若x≥3，则2x +1y ≤23 +14 ，与2x +1y =2矛盾，∴x＜3
因此1＜x＜3，∴x=2，y=1
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