Question

一道数学题，大家帮帮忙。

如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,点P从点C出发,以4cm/s，的速度向点A运动，（不包含C,A两点），过P作PQ平行AB，交BC于点Q，则△CPQ∽△CAB，设点P的运动时间t，
1.当t为多少时，△PQC的面积是四边形PABQ的面积的三分之一。
2.当t为多少时，△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等。
3.若在线段AB上有一动点M，存在点M使得△PQM为等腰三角形，请写出此时t的值，写过程。（分三种情况）

Answer 1

解：
1，当△PQC的面积是四边形PABQ的面积的三分之一，那么△PQC的面积就是△ABC面积的四分之一，另因为PQ平行于AB，所以△PQC∽△ABC，所以可以得出CP:CA=1:2，而因为直角△ABC的斜边AB为10CM，一条直角边BC为6CM，那么直角边AC为8CM，所以CP=CA*1/2=4CM.
而T点的运动速率为4CM/s,所以，其目前的运动时间为1S.
2，因为△PQC∽△ABC，所以CP：CQ=CA：CB=8:6=4:3，而CP=4t, 故CQ=4t*3/4=3t, 所以，只要当CP+CQ=PA+AB+QB时，△PQC的周长与四边形PABQ的周长即相等，即此时4t+3t=（8-4t）+10+(6-3t)，解方程得到t=24/14=12/7秒。
3，当△PQM为等腰三角形时，有三种情况，即：
1）PM=QM，则只要M为PQ中点与AB的垂点即可，此时，P可以为AC上的任意一点，因不包含A,C两点，所以，0<4t<8，即0<t<2.
2) PQ=QM，t 存在一个临界值，在这个临界值处，PQ刚好等于QM，且两者垂直，当t小于临界值时，根据点到直线最短为垂线之原理，QM将始终大于PQ，者无法满足PQ=QM，而t大于临界值且未到达A点之前，都存在M点，能满足PQ=QM，所以，当t为临界值时，PQ=QM,即：
4t*5/4=(6-4t*3/4)*4/5，所以t=24/37，即当24/37<t<2时，总存在点M满足PQ=QM使得△PQM为等腰三角形。
3）PQ=PM,原理同2）中所述，存在一个临界值t使得PQ=PM,即4t*5/4=(8-4t)*3/5，t=24/37，即当24/37<t<2时，总存在点M满足PQ=PM使得△PQM为等腰三角形。

Answer 2

1　T=50/9

Answer 3

1.t=1

Answer 4

不次道哎