Question

高一数学习题

一、已知单位向量e1和e2的夹角为60度，若向量a＝2倍的向量e1+向量e2；向量b＝-3倍的向量e1+2倍的向量e2。 （1）求向量a与向量b的乘积；（2）求向量a与向量b夹角的余弦。

二、已知角υ的正弦为2/3，该角大于90度小于180度，(1)求θ＋π/3的余弦；(2)求θ－π/4的正弦。

Answer 1

解：（1）因为单位向量e1和e2的夹角为60度，所以：
e1*e2=|e1|*|e2|cos60度＝1/2
则a*b=(2e1 +e2)*(-3e1 +2e2)
=-6|e1|²+e1*e2+2|e2|²
=-6+1/2 +2
=-7/2
且|a|²＝4|e1|²+4e1*e2+|e2|²=4+2+1=7
|b|²=9|e1|²-12e1*e2+4|e2|²=9-6+4=7
则|a|=|b|=√7
所以cos<a,b>=a*b/(|a|*|b|)=(-7/2) /7=-1/2

(2)因为角θ的正弦为2/3，该角大于90度小于180度
所以cosθ＝-√(1-sin²θ)=-√5/3
所以cos(θ＋π/3)=cosθcos(π/3)-sinθsin(π/3)= - (√5+2√3)/6
sin(θ-π/4)=sinθcos(π/4)-cosθsin(π/3)=(2√2+√10)/6

Answer 2

a*b=(2e1 +e2)*(-3e1 +2e2)
=-6|e1|²+e1*e2+2|e2|²
=-6+1/2 +2
=-7/2
cos<a,b>=a*b/(|a|*|b|)=(-7/2) /7=-1/2