Question

矩阵相似

矩阵B 0 0 1
0 1 0
1 0 0 已知A相似于B 求R(A-2E)+R(A-E)的值
对于矩阵相似 至今我也没怎么弄懂 矩阵相似到底是个怎么回事。

Answer 1

矩阵A与B相似, 即存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP = B.
基本结论: 相似矩阵的特征多项式相同
推论: 相似矩阵特征值相同, 行列式相同, 迹也相同 (此推论常用, 需记住)
两个常用结论: A的行列式等于A的全部特征值之积
A的迹等于A的全部特征值之和

计算B的特征值: |B-λE| = -(1-λ)^2(1+λ)
所以B的特征值为: 1,1,-1
由A与B相似知 A的特征值为1,1,-1

所以 A-2E 的特征值为 1-2=-1,1-2=-1, -1-2=-3.
故 A-2E 可逆. [ A可逆的充分必要条件之一是 A的特征值都不为0 ]

同样有 A-E 的特征值为: 1-1=0, 1-1=0, -1-1 = -2
故 r(A-E) = 1 [ 别问为什么, 会用就行, 它的秩等于它非零特征值的个数 ]

所以 R(A-2E)+R(A-E) = 3+1 = 4.

Answer 2

求B的特征值，令|rE-B|=r^3-r^2-1=0，知1,2都不是B的特征值。
又A相似于B，所以A，B的特征值相同。故1,2也不是A的特征值。
因此A-2E，A-E均可逆
所以R(A-2E)=3，R(A-E)=3，
R(A-2E)+R(A-E)=6.

Answer 3

Answer 4