Question

函数的单调性

y=X+100÷X （0＜X＜200） 求此函数单调性，要详细步骤
怎么看出是分0<x<10和10<x的讨论，我就这里不明白

Answer 1

0<x<10的时候
设任意0<x1<x2<10，都有(x1+100/x1)-(x2+100/x2)=(x1-x2)+100(1/x1-1/x2)=(x1-x2)(x1x2-100)/x1x2>0 (∵x1-x<0,x1x2-100<0,x1x2>0)
所以在0<x<10的时候y=x+100/x单调递减

当10<x的时候
任意10<x1<x2，都有(x1+100/x1)-(x2+100/x2)=(x1-x2)+100(1/x1-1/x2)=(x1-x2)(x1x2-100)/x1x2<0 (∵x1-x<0,x1x2-100>0,x1x2>0)
所以在0<x<10的时候y=x+100/x单调递增。

综上所述，函数y=x+100/x在0<x<10的时候单调递减，在10<x的时候单调递增。

PS.如何看出是分情况讨论的呢？这里其实也就是一个基本功的问题。函数y=x+1/x的图形是要求掌握的就本函数图形。这个函数的模样在第一象限是一个勾型（戏称之为"耐克函数"），在第三象限是个倒过来的勾。这个勾在第一象限的取到最低点的时候是x=1。这样，所有类型为y=x+a²/x
(a>0)的函数都是这种样子类似的“钩子”，都在x=a的时候取到最低点。这样讨论单调性的时候就以这个为依据。明白？