Question

已知三个关于已知3个关于x的一元二次方程a(x^2)+bx+c=0,b(x^2)+cx+a=0，c(x^2)+ax+c=0恰有一个公共实数根

则a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab的值为多少？

Answer 1

解：
ax²+bx+c=0 (1)
bx²+cx+a=0 (2)
cx²+ax+b=0 (3)
(1)-(2)
(a-b)x²+(b-c)x+(c-a)=0
(a-b)x²-[(a-b)-(a-c)]x+(c-a)=0
x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1)=0
(x-1)[x(a-b)-(c-a)]=0
x=1是方程的解，又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根，则此根为x=1
同理，由(1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1，代入(1)，得
a+b+c=0 c=-(a+b)
a²/(bc)+b²/(ca)+c²/(ab)
=(a³+b³+c³)/(abc)
=[a³+b³-(a+b)³]/(abc)
=(a³+b³-a³-b³-3a²b-3ab²)/(abc)
=-3ab(a+b)/(abc)
=3abc/(abc)
=3