Question

已知a为常数,函数f(x)=a(x-1)(x-a),若f(x)>-a对一切x属于R恒成立，求a的取值范围 （2）解不等式f（x）>x-1

Answer 1

f(x)>-a对一切x属于R恒成立，即f(x)+a>0对一切x属于R恒成立，即a(x-1)(x-a)+a>0对一切x属于R恒成立，即a[x^2-(a+1)x+a+1]>0，分别讨论：
1)当a=0时，左边=0，不等式不成立，a无解
2)当a>0时，两边同除以a，得x^2-(a+1)x+a+1>0，因x^2-(a+1)x+a+1为开口向上的抛物线
因对一切x属于R不等式x^2-(a+1)x+a+1>0恒成立，故x^2-(a+1)x+a+1=0无解，
其判别式(a+1)^2-4(a+1)<0，即(a+1)(a+1-4)=(a+1)(a-3)<0，解得0<a<3
3)当a<0时，两边同除以a，得x^2-(a+1)x+a+1<0，因x^2-(a+1)x+a+1为开口向上的抛物线，不论a取什么值，都不可能使x^2-(a+1)x+a+1<0恒成立，故此时a无解
综上所述，只有当0<a<3时，f(x)>-a对一切x属于R恒成立

不等式f（x）>x-1，即a(x-1)(x-a)-(x-1)>0，即(x-1)[a(x-a)-1]>0
解得x-1>0且a(x-a)-1>0
或x-1<0且a(x-a)-1<0
利用前面求得的0<a<3可知，第一组解得x>1且x>a+1/a，因a+1/a>2>1，故第一组解为x>a+1/a
同样，第二组解得x<1且x<a+1/a，因1<2<a+1/a，故第二组解为x<1
综上所述，不等式f（x）>x-1的解为x<1或x>a+1/a (其中0<a<3)