Question

已知数列{an}前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn,求{nan}的前n项和Tn。

Answer 1

a(n+1)=S(n+1)-Sn
a(n+1)=2Sn
故S(n+1)=3Sn,S1=a1=1
{Sn}为等比数列，公比为3
Sn=3^(n-1)

n>1时：
an=Sn-S(n-1)=3^(n-1)-3^(n-2)=2*3^(n-2)

设bn=nan,b1=1
n>1时，bn=2n*3^(n-2)
由Tn=b1+b2+b3+……+bn得：
Tn＝1+2*2*3^0+2*3*3^1+2*4*3^2+2*5*3^3+……+2n*3^(n-2)
3Tn= 3+2*2*3^1+2*3*3^2+2*4*3^3+……+2*(n-1)*3^(n-2)+2n*3^(n-1)
上式减去下式：
-2Tn=2+2*[3^1+3^2+3^3+……+3^(n-2)]-2n*3^(n-1)=-(2n-1)*3^(n-1)-1
Tn=[(2n-1)*3^(n-1)+1]/2

这类题都用Tn错位相减q倍Tn的方式求得。

追问

an=Sn-Sn-1
an=an+1/2-an/2
由此不是可以得an+1=3an吗？

追答

an=an+1/2-an/2 ？