Question

若多项式f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a能被x-1整除,则实数a=? 请详细解答 谢谢 答对给加分奖励

若多项式f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a能被x-1整除,则实数a=?
请详细解答 谢谢 答对给加分奖励

Answer 1

令x^3+a^2x^2+x-3a=0
因为f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a能被x-1整除
说明f(x)有一因式x-1
即x=1是x^3+a^2x^2+x-3a=0的根
有1+a^2+1-3a=0
解得a=1或a=2

追问

还是不明白啊 为什么设x^3+a^2x^2+x-3a=0呢 是啥原理呢!数学全部忘记了 哎 一点不记得了!

追答

f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a能被x-1整除
必有f(x)=(x-1)(x^2+mx+n)
(其中m,n为某个数,无关紧要)
令f(x)=(x-1)(x^2+mx+n)=0
x=1时,上式成立!

追问

必有f(x)=(x-1)(x^2+mx+n)中(x^2+mx+n)是怎样的出来的呢?大哥 您请详细说下吧 我考研的 十几年前的东西了 啥都忘记了!拜托您了!为什么要设这个x^3+a^2x^2+x-3a=0呢 什么原理呢!

追答

f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a是3次多项式,而x-1是1次,3-1=2
所以(x-1)必乘一个二次多项式,因为这个二次多项式无关紧要,不妨令之为x^2+mx+n

Answer 2

若多项式f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a能被x-1整除，
即多项式f(x)=x^3+a^2x^2+x-3a因式分解后，
有一个因式是x-1，所以可以设f(x)=(x-1)(x^2+mx+n)
当x=1时，f(x)=f(1)=(1-1)（1+m+n)=0
有1+a^2+1-3a=0
a=1 或a=2。

Answer 3

设x^3+a^2x^2+x-3a=（x-1)(bx^2+cx+d)
=bx^3+cx^2+dx-bx^2-cx-d
b=1 c-b=a^2 d-c=1 -3a=-d
a=1 a=2