Question

数字与信号系统习题

Answer 1

　　1.比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点。
　　答：脉冲响应不变法：a.映射关系：S平面到Z平面Z=e St, b.数字频率与模拟频率之间是线性关系W=wT, c.存在频谱混叠失真。双线性变换法：a.映射关系：S平面与Z平面S=K(1-Z-1/1=Z-1) , b.数字频率与模拟频率之间是非线性关系w=ktan(w/2), c.消除了频谱混叠失真。
　　2. 在时域对一段有限长的模拟信号以4kHZ采样，然后对采样的N个抽样点做N点DFT，所得到离散线谱的间距为100HZ，某人想看清50 HZ的线谱如何做？
　　答：应以8kHZ采样，然后采样的2N个抽样点作2N点DFT，将得到离散线谱的间距为50HZ。
　　3. D/A之后与A/D之前要经过什么？什么作用？
　　答：要通过模拟低通滤波器。A/D之前预滤波，即加模拟低通滤波器，作用是防止杂散分量引起频率混叠，D/A之前平滑滤波，即加模拟滤波器，作用是对恢复的模拟信号进行平滑处理。
　　4.离散福利叶变换与离散傅里叶级数的关系？
　　答：离散傅里叶级数：公式自己写！！！！！！！
　　离散傅里叶变换的实质：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行DFS变换，而DFS系数表示了DFT的频谱特性，则X（k）真正表示了xN(n)的频谱特性。
　　5.FFT主要利用了DFT定义中的正交完备奇函数的周期性和对称性，实现计算差的下降，写出WN的周期性和对称性。
　　答：公式自己写！！！！！！
　　6.一个典型的数字信号处理系统的结构框图，并说明功能。
　　答：模拟信号----a.模拟滤波器-----b.A/DC-----c.数字信号处理-----d.D/AC-----e.模拟信号
　　功能：a. 限制输入信号的频率范围，使TS或fs给定后，fs>=2fmax,此滤波器为抗混叠滤波器，b. 按照一定的采样间隔对模拟信号进行等间隔采样，再把时域离散信号经过量化个二进制编码形成数字信号，c.模拟信号的数字频率为（小）w,数字信号的数字频率为（大）W,时域离散信号经过DFT，对连续信号进行频域分析，d. 经过解码，信号可以看成时域离散的信号，再利用零阶保持器采样点之间进行插值来恢复模拟信号，e.采用平滑滤波器，对恢复的模拟信号进行平滑处理。
　　7.何为线性相位滤波器，FIR滤波器为线性相位滤波器的充分条件？
　　答：当滤波器的相频响应为频率的线性函数式，此滤波器为线性相位滤波器。
　　7.DSP;数字信号处理。IIR:无限长单位脉冲响应。FIR：有限长单位脉冲响应。DFT：离散傅立叶变换.FFI快速傅立叶变换。LTI:线性时不变。LPF:低通滤波器。
　　8.什么是线性系统？对模拟信号进行抽样量化和乘法运算的系统是否为线性系统？为什么？答：如果一个系统满足可加性和比例性则为线性系统。例如，x1(n),x2(n)为输入，系统的对应输出用y1(n),y2(n)表示，y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)],若T[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)和T[a1x1(n)]=a1y1(n),则为线性系统，对信号进行抽样量化和乘法运算的系统不是线性系统。
　　9.频率采样造成时域周期延拓现象，采用什么措施避免其负面影响？答：使采样频率为带限信号最高频率的至少2倍可避免，即fs>=2fc.
　　条件自己写，公式！！！！！！
　　1.以三个角度三种表示方法描述一个线性时不变离散系统（差分方程，系统函数，单脉冲响应）。
　　2.说明Z变换与LTS关系（Z= est 即e的st次方 ）与DTFT的关系（Z=ejw即e的jw次方 ）与DFT的关系(z= )
　　3.数字频率只有相对意义，因为它是（实际频率）对（采样频率的归一化W= 或W= /Fs）数字频率2π对应的物理频率（Fs）Pπ对应（Fs/2）
　　4.满足采样定理的样值信号中，可以不失真恢复原模拟信号，采样方法从时域看是（采样值对应相应内插函数的加权求和）从频域看是（加低通频域截断）
　　5.δ（n）和δ(t)的区别（δ（n）是序列n取整数时有意义，δ（t）是模拟信号，t是连续的；δ（n）当n=0时δ（n）=1,δ(t)当t=0时δ（t）=无穷）
　　6.研究周期序列频谱（DFS）
　　7.周期序列不能进行Z变换，因为周期（不满足收敛条件：序列绝对可和）
　　8.写出设计圆形滤波器的方法（巴特沃斯，切比雪夫，椭圆）
　　9.借助模拟滤波器设计IIR高通数字滤波器，不强调要求，应用（双线性变换法）。
　　10.DFT表达式 变换后数字频率上相隔两个频率样点的间隔为(2π/m)由此可以看出该式的时域长度为N.
　　12. DFT 是正弦类正交变换，其正交积是 。
　　13.由频域采样的x(k),恢复x( )时，可以内差公式，它是利用x(k)对内差函数加权求和。
　　14.如果希望其信号序列的离散谱为实偶的，那么该时域序列满足条件：a. DFT的共轭对称性，b . 实序列偶对称
　　15.N点FFT的运算量大约是 次复数加法； /2 次复数乘法。
　　16. 正弦序列 sin(nW0)不一定是周期序列，比如 W0 取有理数时，不是周期序列
　　17.频域N点采样，造成时域周期延拓其周期是NT(s)(时域采样周期)
　　18.采样f为f s HZ的数字系统中，系统函数表达式中 代表物理意义：延时一个采样周期1/fs,其中时域数字序列x(n)的信号n代表的样值是n T或n/f s, x(n)的 n 点DFT x(k)中序号k代表的样值实际位置是2πk/N。
　　19.一个长为100点，另一个长为25点，线性卷积，借FFT进行快速卷积，得到与线性卷积相同的结果所做的FFT的次数是3次，总的乘法计数量为 =1344，n=128。
　　20.一个因果数字序列，如果系统的极点位于Z平面的单位圆内，则该系统是稳定系统。
　　21.模拟信号是指时间和幅度在时间上和幅度上都是连续取值；数字信号是在时间和幅度上都是离散取值；离散时间信号是指在时间上离散，幅度上连续取值。
　　22.对一个信号频域进行采样，将导致信号时间域实现，周期延拓特性。
　　23.第二类线性FIR滤波器一定不能用于高通、带阻、滤波系统。
　　24.对时间序列采用线性相位FIR滤波器进行滤波，第0秒时刻输入样值，对应的滤波输出样值将出现在第（N-1）T/2秒。25.考虑一个随机序列，通过一个已知冲击响应h(n)的线性时不变系统，那么输出序列的自相关函数与输入序列的自相关函数关系为R0（t）=Ri(t)*R(n), h(n)的自相关函数为R（n）,R0(t)输出，Ri(t) 输入。
　　26.设计IIR滤波器时采用双线性变换法，将S域jw轴上的模拟角频率2πfs变换到Z域单位圆上的数字频域w=2arctan(wt/2)=0.80π。
　　27.实现一个数字滤波器，需要几种基本运算单元包括：加法器、乘法器、延时器。
　　28.IIR数字滤波器的基本结构包括直接型、级联型、并联型；FIR数字滤波器的基本结构包括直接型、级联型、频率采样型。

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　　设计

　　高通数字滤波器的设计步骤：
　　1. 确定所需类型数字滤波器的技术指标。
　　2. 将所需类型数字滤波器的边界频率转换成相应类型模拟滤波器的边界频率，转换公式为Ω=2/Ttanw/2
　　3. 将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
　　4. 设计模拟低通滤波器。
　　5. 通过频率变换将模拟低通转换成相应类型的过度模拟滤波器。
　　6. 采用双线性变换法将相应类型的过度模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。
　　利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤
　　1. 确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率Wp,通带最大衰减ap,阻带截止频率Ws,阻带最小衰减as
　　2. 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率Wp和Ws的转换，ap和as指标不变。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为（Ωp=Wp/T和Ωs=Ws/T）;如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为（Ωp=2/TtanWp/2,Ωs=2/TtanWs/2）
　　3. 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过度模拟低通滤波器。
　　4. 用所选的的转换方法，将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H（z）.

Answer 2

填空：
1、描述线性时不变离散系统的三种方法： 差分方程、单位脉冲响应、系统函数
2、ZT与LTs的关系：Z=e^(st) ZT与 DTFT的关系 Z=e^(jwτ) ZT与 DFT的关系 z=e^(j2π/NKn)
3、数字频率只有相对意义，是 实际频率对采样频率的归一化 w=ΩT或w=Ω/Fs
4、数字频率的2π对应模拟频率的Fs，Pπ对应模拟频率的Fs/2 信号最高频率不超过fs/2 不会出现频率混叠
5、满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出模拟时间信号的方法：从时间域角度看，采样值相对应内插函数的加权求和，从频域角度看，加低通频域截断
6、δ（n）与δ（t）的两点区别：1 δ（n）是序列n去整数时有意义，δ（t）表示模拟信号，t是联系的 2 δ（n）在n=0时δ（n）=1可以实现，δ（t）在t=0时无穷，只是积分为1，不可实现。
7、研究周期序列频谱特性的方法：DFS
8、接通模拟H(s)->H(Z)高通数字滤波器：用双线性变换法
低通数字滤波器：用脉冲响应不变法
9、周期序列不能进行ZT，因为周期序列不满足收敛条件，收敛条件是h(n)绝对可和。
10、X(l)=∑_(k=0)^(N-1)x(k)w_M^kl=∑_(k=0)^(N-1)x(k)e^(-j2π/Mkl)，变换后 数字频率上 相邻两个频率采样点的间隔为（2π/m）由此可以看出该式的食欲长度为N
11、DFT是正弦类正交变换，其正交积是e^(-j2πkn/N)
11、设计模拟低通滤波器的方法： 巴特沃斯型、切比雪夫型、椭圆型
12、由X(k)->X(e^(jw))时可以利用内插公式，它是用X(k)的值 对内插函数加权求和得到的。
13、序列离散谱是偶的，该时域序列应满足 实偶对称 DFT的共轭对称性
14、N点FFT的运算大约是 N(log_2 N)/2次复数乘，Nlog_2 N次复数加
15、对于正弦序列sin(nw_0)，当w_0取 有理数 不是周期序列
16、频域N点采样造成时域周期延拓，周期是 NT s （T是时域离散周期）
17、采样F(s)、H(z)的数字系统，系统函数表达式中z^-1代表的物理意义是 延时一个采样间隔1/(fs) s。其中X(n)代表的实际值是 n/(Fs) s ，X(n)的N点DFT X(k)中，k代表的样值实际值是 2πk/N
18、一个因果序列，如果系统的极点位于Z平面的单位院内，则该系统是稳定系统
一个长为100点，另一个长为25点，线性卷积，借FFT进行快速卷积，得到与线性卷积相同的结果所做的FFT的次数是3次，总的乘法及数量为3n/2log_2 n=1344,n=128
19、模拟信号是指时域波形 时间上和幅度上连续，数字信号是指时域波形时间上和幅度上离散，时域离散信号 时间上离散，幅度上连续
20、频率采样，时间上周期延拓
21、在第二类情况下，FIR滤波器 不能用于高通、带阻
22、对时间序列采用线性相位FIR滤波器进行滤波，第0秒输入样值，输出样值在 (N-1)T/2，
第0个出现在(N-1)/2*1/(Fs)时刻
23、设计IIR滤波器采用双线变换法，w=2arctan(ΩT/2)
采用脉冲响应不变法，w=ΩT
24、FIR零点呈现为 互为倒数的共轭对
25、实现数字滤波器需要： 延长器 加法器 乘法器
26.考虑一个随机序列，通过一个已知冲击响应h(n)的线性时不变系统，那么输出序列的自相关函数与输入序列的自相关函数关系为R0（t）=Ri(t)*R(n), h(n)的自相关函数为R（n）,R0(t)输出，Ri(t) 输入。
27.设计IIR滤波器时采用双线性变换法，将S域jw轴上的模拟角频率2πfs变换到Z域单位圆上的数字频域w=2arctan(wt/2)=0.80π。
28.IIR数字滤波器的基本结构包括直接型、级联型、并联型；FIR数字滤波器的基本结构包括直接型、级联型、频率采样型。

简答
1.比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点。
答：脉冲响应不变法：a.映射关系：S平面到Z平面Z=e^St, b.数字频率与模拟频率之间是线性关系W=ΩT, c.存在频谱混叠失真。双线性变换法：a.映射关系：S平面与Z平面S=K(1-Z^-1)/(1+Z^-1) , b.数字频率与模拟频率之间是非线性关系w=ktan(w/2), c.消除了频谱混叠失真。
2. 在时域对一段有限长的模拟信号以4kHZ采样，然后对采样的N个抽样点做N点DFT，所得到离散线谱的间距为100HZ，某人想看清50HZ的线谱如何做？
答：应以8kHZ采样，然后采样的2N个抽样点作2N点DFT，将得到离散线谱的间距为50HZ。
3. D/A之后与A/D之前要经过什么？什么作用？
答：要通过模拟低通滤波器。A/D之前预滤波，即加模拟低通滤波器，作用是防止杂散分量引起频率混叠，D/A之前平滑滤波，即加模拟滤波器，作用是对恢复的模拟信号进行平滑处理。
4.离散福利叶变换与离散傅里叶级数的关系？
答：离散傅里叶级数：x_p(n)=1/N∑_(K=0)^(N-1)X_p(k)e^((j2π/N)kn),x(n)=x_p(n)R_N(n)变换:x(n)=1/(2π)∫_(-π)^πx(e^(jw))e^(jwn)dw, x(k)=X_p(k)R_N(k)
离散傅里叶变换的实质：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行DFS变换，而DFS系数表示了DFT的频谱特性，则X(k)真正表示了x_N(n)的频谱特性。
5.FFT主要利用了DFT定义中的正交完备奇函数的周期性和对称性，实现计算差的下降，写出W_N的周期性和对称性。
答：周期性：
W_N^kn=w_N^(k+n)n=w_N^k(n+N)
对称性：
W_N^(n+N/2)=-W_N^n
6.一个典型的数字信号处理系统的结构框图，并说明功能。
答：模拟信号----a.模拟滤波器-----b.A/DC-----c.数字信号处理-----d.D/AC-----e.模拟信号
功能：a. 限制输入信号的频率范围，使TS或fs给定后，fs>=2fmax,此滤波器为抗混叠滤波器，b. 按照一定的采样间隔对模拟信号进行等间隔采样，再把时域离散信号经过量化个二进制编码形成数字信号，c.模拟信号的数字频率为Ω,数字信号的数字频率为W,时域离散信号经过DFT，对连续信号进行频域分析，d. 经过解码，信号可以看成时域离散的信号，再利用零阶保持器采样点之间进行插值来恢复模拟信号，e.采用平滑滤波器，对恢复的模拟信号进行平滑处理。
7.何为线性相位滤波器，FIR滤波器为线性相位滤波器的充分条件？
答：当滤波器的相频响应为频率的线性函数时，此滤波器为线性相位滤波器。
7.DSP;数字信号处理。IIR:无限长单位脉冲响应。FIR：有限长单位脉冲响应。DFT：离散傅立叶变换.FFI快速傅立叶变换。LTI:线性时不变。LPF:低通滤波器。
8.什么是线性系统？对模拟信号进行抽样量化和乘法运算的系统是否为线性系统？为什么？答：如果一个系统满足可加性和比例性则为线性系统。例如，x1(n),x2(n)为输入，系统的对应输出用y1(n),y2(n)表示，y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)],若T[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)和T[a1x1(n)]=a1y1(n),则为线性系统，对信号进行抽样量化和乘法运算的系统不是线性系统。
9.频率采样造成时域周期延拓现象，采用什么措施避免其负面影响？答：使采样频率为带限信号最高频率的至少2倍可避免，即fs>=2fc.
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