求微分方程(1+x2)dy+(1+y2)dx=0的通解.
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解：∵(1+x²)dy+(1+y²)dx=0 ==>(1+x²)dy=-(1+y²)dx
==>dy/(1+y²)=-dx/(1+x²)
==>arctany=-arctanx+arctanC (C是积分常数)
==>y=tan(arctanC-arctanx)
==>y=[tan(arctanC)-tan(arctanx)]/[1+tan(arctanC)*tan(arctanx)] (应用正切差角公式)
==>y=(C-x)/(1+Cx)
∴原微分方程的通解是y=(C-x)/(1+Cx) (C是积分常数)。
==>dy/(1+y²)=-dx/(1+x²)
==>arctany=-arctanx+arctanC (C是积分常数)
==>y=tan(arctanC-arctanx)
==>y=[tan(arctanC)-tan(arctanx)]/[1+tan(arctanC)*tan(arctanx)] (应用正切差角公式)
==>y=(C-x)/(1+Cx)
∴原微分方程的通解是y=(C-x)/(1+Cx) (C是积分常数)。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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楼上的做的思路不错，但错了一个符号：
(1+x^2)dy=－(1+y^2)dx
分离变量得
dy/(1+y^2)=－dx/(1+x^2)
两边积分得
arctany=－arctanx+C
这个地方已经是最简了
如果硬要解出y也可以。
y=tan(－arctanx+C)
(1+x^2)dy=－(1+y^2)dx
分离变量得
dy/(1+y^2)=－dx/(1+x^2)
两边积分得
arctany=－arctanx+C
这个地方已经是最简了
如果硬要解出y也可以。
y=tan(－arctanx+C)
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分离变量型
(1+x^2)dy=-(1+y^2)dx
dy/(1+y^2)=-dx/(1+x^2)
两边积分得
arctany=arccotx+C
y=tan(arccotx+C)
(1+x^2)dy=-(1+y^2)dx
dy/(1+y^2)=-dx/(1+x^2)
两边积分得
arctany=arccotx+C
y=tan(arccotx+C)
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arctan y+arctan x+c=0
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