Question

关于弧长与扇形面积问题!

设扇形的弧长为1，圆心角为a弧度，半径为r，则L=绝对值a剩以r，扇形面积s=1/2L乘以r的平方=1/2乘绝对值a乘r的平方。（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm平方，求扇形圆心角的弧度数、（2）已知以扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少、 由于经常提问题没分了希望好心人帮忙解决下、希望懂的好心人帮忙下，助人为快乐之本嘛，再次拜谢了！

Answer 1

(1)由L+2r=a*r+2*r=10与S=L*r/2=4，
得：r=10/(a+2)=根号下(8/a)，
得：2(a+2)^2=25a即2a^2-17a+8=0，
得：a=8或1/2，但当a=8时a>2π不成立，即a=1/2
(2)由L+2r=a*r+2*r=40与S=L*r/2，
得：r=40/(a+2)=根号下(2S/a)，即S=800a/(a+2)^2，
即求a/(a^2+4a+4)最大值，即求1/(a+4+4/a)最大值，
因为a+4+4/a>=8（均值不等式），
所以最大值为100

Answer 2

(1)扇形的周长为10cm，所以2r+|a|*r=10；扇形的面积为4平方厘米，所以(1/2)*|a|*r^2=4
解得a=1/2或a=8；又因为8>2π，所以扇形圆心角的弧度数为1/2；
(2)由(1)知2r+|a|*r=40，得r=40/(|a|+2)，再将其代入扇形的面积S=(1/2)*|a|*r^2中得：
S=800/[|a|+(4/|a|)+4]
由于|a|+(4/|a|)+4>=8，即|a|+(4/|a|)+4的最小值是8，此时|a|=4/|a|，即a=2，相应的半径r=10
所以当它的半径为10厘米、圆心角为2弧度时，才能使扇形的面积最大，最大面积是100平方厘米。

Answer 3

(1) 设：L=弧长，R=半径，弧度数=A
因为扇形周长为10，所以 L+2R=10
由弧长与面积公式 S=1/2LR 得 1/2LR=4
解方程组得 R1=1, L1=8 和R2=4 L2=2 两组解
由弧度计算公式 L=AR 得 A1=8, A2=1/2

(2) L+2R=40, S=1/2LR=1/2(40-2R)R=20R-R^2 (注：R的平方）
即S=20R-R^2 (注：R的平方）
由二次函数的顶点公式得，当R=10时，面积最大，S=100
由S=nπR^2/360 得 n=360/π 度（或=2弧度）