Question

高中数学题，急！！！！！！！！！

设函数f(x)=ax^3+bx^2-3a^x+1(a,b属于R）在X=X1,X=X2处取得极值，且|X1-X2|=2
（1）若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间
（2）若a>0，求b的取值范围
真不好意思，题目打错了。已经重新提问了，求解答

Answer 1

设函数f(x)=ax^3+bx^2-3ax+1(a,b属于R）在X=X1,X=X2处取得极值，且|X1-X2|=2
（1）若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间
（2）若a>0，求b的取值范围
解：f′(x)=3ax²+2bx-3a
(1) a=1时，令f′(x)=3x²+2bx-3=0，
︱x₁-x₂︱=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[(-2b/3)²+4]=2，故得b=0
于是f′(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x+1)(x-1)，
因此可知：在区间(-∞，-1)∪(1，+∞)内单调增；在区间(-1，1)内单调减。
(2)若a>0，则f′(x)=3ax²+2bx-3a，︱x₁-x₂︱=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[(-2b/3a)²+4]=2
(4b²/3a²)+4=4，仍得b=0.
[题目中的-3a^x是不是3ax之误？如果确是-3a^x，那么第2问的解法极其结果会大不一样！]

Answer 2

1.求一阶导，y'=3ax^2+2bx-3a.由题意得X1，X2就是y‘的两个根。X1+X2=-2b/3a X1X2=-1
前式平方减去后试4倍。则，b=0.易得，在负无穷到-1 1到无穷单调递增。-1到1单调递减。
2.还是上面的平方减去4X1X2。还是b=0，额不知道是我算错了，还是题目。。。

Answer 3

y'=3ax^2+2bx-3a
(1)a=1
y'=3x^2+2bx-3
x1+x2=-2b/3 x1x2=-1
|X1-X2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4b^2/9+4=4
b=0
y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
单调减区间(-1,1)
单调增区间(-∝,-1)U(1,+∝)
(2)y'=3ax^2+2bx-3a
x1+x2=-2b/3a x1x2=-1
|X1-X2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4b^2/9a^2+4=4
4b^2/9a^2=0
b=0