Question

高手来：求y=x+根号(5-x^2)的值域

Answer 1

解：据题意，y=x+根号(5-x^2)
先求定义域，5-x^2大于等于0，得到定义域为[-根5，根5]。
本题有两种方法，一种是利用三角换元，另一种则利用线形规划，但本质是一样的。
观察y=x+根号(5-x^2)，发现前半部分（那个x）和后半部分（根号(5-x^2)）平方和为5
那么可以设m=x，n=根号(5-x^2)，这样原问题就化为求这样的问题：
已知m^2+n^2=5（n大于等于0），求y=m+n的值域。
这样就可以画出线性规划图形是一个半圆，线性目标函数n=-m+y
y就表示n=-m+y这条直线的纵截距
那么可以知道当相切是，y有最大值，当过（-根5，0）点时，y有最小值
求出来最大值为根10，最小值为-根5
那么本题结论为，题设函数值域为[-根5，根10]
主要利用数形结合转化，将不可求变为可求，这样的方法也可用在求很多类似的函数值域中。
其实这样说可能不太易懂，如果还是看不懂的话c a l l 我吧，学习愉快！

Answer 2

因为 √5-x^2>=0
所以 -√5=<x<=√5
不妨设 x=√5sina （ a大于等于负90度，小于等于90度)
则有 √5-x^2=√5cosa
所以 y=√5sina+√5cosa
=√10sin(a+π/4)
所以 -√10=<y<=√10

Answer 3

－根5<x<根5