Question

已知向量a=(√3sinx，cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=ab+m

其中m为正实常数，1，求f(x)的最小正周期及单调递增区间。2，当-∏/6<=x<=∏/3是，若f(x)的最小值为2，求f(x)的最大值

Answer 1

1. f(x)=√3sinxcosx+cosxcosx+m
=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x+1/2+m
=sin(2x+π/6)+1/2+m
最小正周期T=2π/2=π
单增区间2x+π/6∈[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]
x∈[kπ-π/3, kπ+π/6]
2. 当-∏/6<=x<=∏/3时,2x+π/6∈[-π/6, 5π/6]
因m为正实常数，
所以当sin(2x+π/6)=-1/2时，f(x)最小=m=2
当sin(2x+π/6)=1时，f(x)最大=1+1/2+m=3/2+2=7/2
即为所求
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Answer 2

（1）由题意可得，f(x)=sin(2x+∏/6)+1/2+m
所以，其最小正周期为∏
又因为当--∏/2+2k∏<=2x+∏/6<=∏/2+2k∏时f(x)单调递增,即[--∏/3+k∏，∏/6+k∏]为f(x)的单调递增区间.
(2)因为-∏/6<=x<=∏/3,所以-∏/6<=2x+∏/6<=5∏/6
所以f(x)的最小值在2x+∏/6=-∏/6时取到,即f(x)min=-1/2+1/2+m=2
所以,m=2
又因为,[sin(2x+∏/6)]max=1
所以f(x)的最大值=1+1/2+2=7/2

Answer 3

(1）f(x)=根号3sinxcosx+cosx的平方+m=（根号3/2）sin2x+(1/2)cos2x+1/2+m=sin(2x+30度)+1/2
所以最小正周期为配，单调递增区间为（-配/3+K配，配/6+K配）

（2）可得-配/6<=2x+30度<=5配/6 故当最小值为-1/2，最大值为1
由-1/2+1/2+m=2,得m=2
所以f(x)的最大值=1+1/2+2=7/2