Question

已知函数f（x）=mx的平方+（m-3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围

Answer 1

解：f（x）=mx的平方+（m-3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，那么有
mx的平方+（m-3）x+1=0有解，当m=0时，x=1/3,，合题意；当m≠0，△=（m-3）^-4m≥0，解得m≥9或m≤1，设方程的两个解为x1，x2，那么x1+x2=-（m-3）/m，x1x2=1/m，如果有一个解在原点的右侧，即方程有一个为整数，一个解为负数，所以x1x2=1/m＜0，所以得到m＜0；如果两个解在右侧有：x1x2=1/m＞0，x1+x2=-（m-3）/m＞0解得0＜m＜3；所以
当m≤1时，函数f（x）=mx的平方+（m-3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧

Answer 2

若m=0
则f(x)=-3x+1=0
x=1/3>0
成立

m不等于0
方程f(x)=0有解则
(m-3)^2-4m>=0
m^2-10m+9>=0
m>=9,m<=1

x=[-(m-3)±√(m^2-10m+9)]/2m

若m>0
则取+号的解大，则只要他大于0即可
[-(m-3)+√(m^2-10m+9)]/2m>0
-(m-3)+√(m^2-10m+9)>0
√(m^2-10m+9)>m-3
若0<m<1,则m-3<0,肯定成立
若m>9
m^2-10m+9>m^2-6m+9
-10m>-6m
m<0,矛盾
所以0<m<1

若m<0
则取-号的解大，则只要他大于0即可
[-(m-3)-√(m^2-10m+9)]/2m>0
-(m-3)-√(m^2-10m+9)<0
√(m^2-10m+9)>3-m
m<0,3-m>0
m^2-10m+9>m^2-6m+9
-10m>-6m
m<0

所以m<1

追问

为什么当m大于0时，与对称轴无交点，则对称轴要小于等于0？
所以m<1 要取等号