Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2），b=（cosx/2，—sinx/2），且x∈[0,π/2],f（x）=a·b-2λ│a+b│

求：
（1）a*b及│a+b│
(2)若f（x）的最小值是-3/2，求实数λ的值

Answer 1

解：(1)因为向量a=(cos3x/2,sin3x/2），b=（cosx/2，—sinx/2），所以：
|a|＝|b|＝1
且a*b=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)
=cos(3x/2 +x/2)
=cos2x
则|a+b|²=|a|²+2a*b+|b|²
=2+2cos2x
=2(1+cos2x)
=4cos²x
因为x∈[0,π/2]，所以：
|a+b|=2cosx

(2)由（1）可得：
f（x）=a·b-2λ│a+b│
＝cos2x－2λ*2cosx
=2cos²x-4λcosx-1
=2(cosx-λ)²-2λ²-1
因为x∈[0,π/2],所以cosx∈[0,1]
若λ<0,则当cosx=0时，f(x)有最小值-1 ≠ -3/2,这与题(2)已知矛盾，故λ<0不成立
若1≥λ≥0,则当cosx=λ时，f(x)有最小值-2λ²-1=-3/2,解得λ＝1/2 (λ=-1/2不合题意，舍去)
若λ>1,则当cosx=1时，f(x)有最小值1-4λ=-3/2,解得λ＝5/8<1,故此解舍去
所以若f（x）的最小值是-3/2，求实数λ的值为1/2

Answer 2

ab=cos(3x/2)*cos(x/2)-sin(3x/2)*sin(x/2)
=cos[(3x+x)/2]
=cos(2x).

a+b=(cos(3x/2)+cos(x/2),sin(3x/2)-sin(x/2)),
|a+b|=√[(cos(3x/2)+cos(x/2))^2+(sin(3x/2)-sin(x/2))^2]
=√[2(1+cos2x)]
=2*|cosx|,
因为,x∈[-π/3,π/4]。则有,cosx>0,
即,
|a+b|=2*|cosx|=2cosx.

2.若f（x）=a*b-|a+b|。则有,
f(x)=cos2x-2cosx,
=2cos^2x-1-2cosx
=2(cosx-1/2)^2-3/2.
而,x∈[-π/3,π/4]。则有,
1)当X=0时,cos0=1,则f(x)=2(1-1/2)^2-3/2=-1.
2)当X=π/4时,cosπ/4=√2/2,则f(x)=2*(√2/2-1/2)^2-3/2=-√2.
则,f(x)最大值=-1,f(x)最小值=-√2.