如图,在三角形ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线。试证明:AC=AB+BD
科颐维
2024-10-28 广告
2024-10-28 广告
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解:以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,连接BE与DE
所以AB=AE,所以∠ABE=∠AEB
因为AD平分角A,
所以AD垂直平分BE,所以BD=DE
所以∠DBE=∠DEB
所以∠DBE+∠ABE=∠DEB+∠AEB
即∠AED=∠ABD=2∠C
所以∠EDC=∠AED-∠C=∠C
所以CE=DE=BD
所以AC=AE+CE=AB+BD
所以AB=AE,所以∠ABE=∠AEB
因为AD平分角A,
所以AD垂直平分BE,所以BD=DE
所以∠DBE=∠DEB
所以∠DBE+∠ABE=∠DEB+∠AEB
即∠AED=∠ABD=2∠C
所以∠EDC=∠AED-∠C=∠C
所以CE=DE=BD
所以AC=AE+CE=AB+BD
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证明:延长AB到E使AE=AC,连结DE,又∵∠CAD=∠EAD、且AD=AD,
∴△ADC≌△ADE,∴∠ACD=∠AED,
∴∠ABC=2∠ACD=2∠AED
∵∠ABC=∠AED+∠BDE
∴∠AED=∠BDE,BD=BE,
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD,证毕
∴△ADC≌△ADE,∴∠ACD=∠AED,
∴∠ABC=2∠ACD=2∠AED
∵∠ABC=∠AED+∠BDE
∴∠AED=∠BDE,BD=BE,
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD,证毕
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