Question

如图，在三角形ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线。试证明:AC=AB+BD

Answer 1

因为,∠B=2∠C，所以，∠B>∠C，于是AC>AB。由于AD是角平分线，所以，沿直线AD把三角形ABD翻折，使点B落在AC上的点E处。（在AC上截取AE=AB也行）
则AE=AB，DE=BD，∠B=∠AED=2∠C，
因为，∠AED=∠C+∠CDE，所以，∠C=∠CDE，所以，DE=CE。
于是，CE=BD。
AC=AE+CE=AB+BD。

Answer 2

解：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，连接BE与DE
所以AB=AE，所以∠ABE=∠AEB
因为AD平分角A，
所以AD垂直平分BE，所以BD=DE
所以∠DBE=∠DEB
所以∠DBE+∠ABE=∠DEB+∠AEB
即∠AED=∠ABD=2∠C
所以∠EDC=∠AED-∠C=∠C
所以CE=DE=BD
所以AC=AE+CE=AB+BD

Answer 3

证明：延长AB到E使AE=AC，连结DE，又∵∠CAD=∠EAD、且AD=AD，
∴△ADC≌△ADE，∴∠ACD=∠AED，
∴∠ABC=2∠ACD=2∠AED
∵∠ABC=∠AED+∠BDE
∴∠AED=∠BDE，BD=BE，
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD，证毕