Question

两道常微分方程的题目。

1.若函数y=y1(x),y=y2(x)是微分方程y' + p(x)y = q(x)的二个不同的特解，则用这两个解可将其通解表示为（ ）
2.微分方程y'' - y = e^x + 5的一个特解的形式为（）

请解释一下解题的方法。

Answer 1

1、y1+C(y1-y2)或y2+C(y1-y2)都行
2、Axe^x+B，A,B是常数
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利用线性方程的解的特点以及通解的结构

追问

第二问能够更加详细一点吗？书上不是讲如果右边是e^(ax)P(x)这种形式的话，才能够使用待定系数法吗？这里右边的形式不是不能够化成这种形式吗？

追答

非齐次方程有个叠加原理。特解可以分为两个方程y'' - y = e^x与y'' - y = 5的特解之和，这就符合你所说的情形了。对y'' - y = e^x，多项式P(x)=1，是零次的。λ=1是特征方程的单根，所以特解设为x×A×e^x。对y'' - y =5，λ=0不是特征方程的单根，所以特解设为B。合起来，微分方程y'' - y = e^x + 5的一个特解的形式就是Axe^x+B，A,B是常数

Answer 2

先标记下，回去做，手机不好打字