Question

1/(1x2x3)+1/(2x3x4)+1/(3x4x5)+........1/(nx(n+1)x(n+2)=?

请问这个题目该怎么思考，我经常碰到，可一碰到新的就无从下手。请高手教教我方法

Answer 1

1/1*2*3=0.5/1-1/2+0.5/3
1/2*3*4=0.5/2-1/3+0.5/4
............
1/n(n+1)(n+2)=0.5/n-1/(n+1)+0.5/(n+2)
以上所有式子相加，错项相加减得：
1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)=0.5/1-0.5/2-0.5/(n+1)+0.5/(n+2)=1/4-0.5/[(n+1)(n+2)]

追问

请问这应该怎么思考，我怎么想都想不到这种方式额

追答

裂项相消法，这是求和的一种常用方法。

Answer 2

=1/2×[1/1×2-1/2×3+1/2×3-1/3×4+……+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=1/2×[1/1×2-1/(n+1)(n+2)]
=1/4-2/(4n²+12n+8)
=(n²+3n)/(4n²+12n+8)