Question

求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1

如题，具体过程。

Answer 1

我认为楼上证得都不严密，既是证明，就不能在无形中借助图像，讨论判别式、对称轴之类。
证明：（充分性）即证：若a≤1，则关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根
分情况：若a=0，那么x=-1/2显然为方程的一个根，方程至少有一个负根
若0＜a≤1，那么注意x0=[-1-√(1-a)]/a，显然x0＜0，而x0²=[2-a+2√(1-a)]/a²，于是ax0²+2x0+1=0，故x0为方程的一个根，∴方程至少有一个负根
若a＜0，注意x0=[-1+√(1-a)]/a。∵a＜0，∴1-a＞1，∴√(1-a)＞1，-1+√(1-a)＞0，∴x0＜0。又易得ax0²+2x0+1=0，故x0为方程的一个根，∴方程至少有一个负根
充分性得证
（必要性）即证：若关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，则a≤1
设x0为方程的一个负根，那么ax0²+2x0+1=0，∴a=(-2x0-1)/x0²。注意到(x0+1)²=x0²+2x0+1≥0，∴x0²≥-2x0-1，即(-2x0-1)/x0²≤1，∴a≤1
必要性得证

Answer 2

解：(1) 观察此方程无零解，当a=0时根是负值。
(2) 当a不为零时，二次方程有解的充要条件是判别式>=0，得到a<=1
两根和为-2/a,两根积为1/a。
如两根都为正，则有-2/a >0,且1/a >0，无解。
即不可能两根都为正，所以至少有一根为负。
综上所述，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1。
证毕！

Answer 3

至少一负根的充要条件(2条)：
1.有根 2.有一负根
由1分情况：
a=0,x=-1/2成立
a!=0,判别式>=0得到a<=1
由2分情况：
a>0 有两负根成立
a<0有一正根一负根成立
综上a<=1