Question

函数项级数和数项级数的区别

求高手解决，明天就要考数分了.....拜托啦～尽量通俗一些，谢啦～
谢谢！那他们的性质还一样吗？就是判定的那些条件...

Answer 1

举个例子吧
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^4 + (1/5)x^5 - ...

下面做一对比，对比的内容是一一对应的，希望你认真看一下，对你考试有帮助。
第一个是数项级数。
（1）它的通项是个“数”，即an=[(-1)^(n-1)]/n。
（2）它的敛散性是确定的，因为这里面都是“数”，没有变量，所以最后结果要么收敛，要么发散，是确定的，两者只能取其一。
（3）对于数项级数，考试的题目只有一句话，“判断这个级数是收敛还是发散？”，原因就是上面说的，它的敛散性是确定的，你要做的是判断出它到底收敛还是发散！
（4）解题步骤一般是：
先判断通项极限是不是为0，如果不是则直接写发散；如果是，再判断是正项级数还是交错级数（我举得例子是交错级数），如果是正项级数，用比值审敛法，比较审敛法等判断，如果是交错级数，用莱布尼兹审敛法判断。本题用莱布尼兹审敛法，交错级数的通项递减且趋于0，所以收敛。

第二个是函数项级数
（1）它的通项是个函数，说白了就是通项里含有变量x,即an=[(-x)^(n-1)]/n。
（2）它的敛散性是不确定的，因为x取不同的值的时候，他就是不同的数项级数，（比如x=1就和第一个例子的级数一样，x=2就又变成另一个级数了）。这些不同的数项级数有的发散有的收敛。取决于x取什么值。
（3）对于函数项级数，考试的题目一般是，“求这个函数项级数的收敛域和收敛区间”，说白了就是问你：“x取什么值的时候，这个级数收敛，x取什么值的时候，这个级数发散？”
（4）解题步骤一般是：
先算出收敛半径，（比如我举得例子，算出收敛半径是1），那就是说，这个函数项级数在±1之内都是收敛的，比如x=0.9代入，肯定收敛的；而在±1之外是发散的，比如x=1.1代入，肯定是发散的。但是端点-1和+1的情况还不知道，需要另外判断。方法就是直接代入-1和+1，变成两个数项级数来判断。最终得到，-1时发散，而+1时收敛。所以最终考卷上写：x属于(-1,1]时，收敛。

Answer 2

函数项级数和数项级数区别顾名思义就是函数与数的区别；
1）前者每项都是函数，级数和也是函数，而后者每项都是数，级数和也是数
2）前者是否收敛要看x的取值，也就是说收敛是有收敛域的，后者是否收敛可以直接判断
简单理解为前者是函数相加，后者是数相加，
希望对您有帮组