Question

高分奉送，微积分问题，纠缠了很久，请数学系的高手回答。

我发觉对于函数f(x),若其在x0处有定义，则其导函数，在x0处要么不存在要么连续。
请问如何用定义证明？
还有怎么用定义证明极限的四则运算法则，对于书上的不用定义进行的证明我不满意。
请数学系的高手留下qq，qq上为我解答这个问题。
本人qq434765011

Answer 1

该结论是错的。例如函数f（x）=x^2sin(1/x) x≠0
0 x=0
该函数在点x=0处有定义，其导函数在点x=0处存在，但不连续。
至于用定义证明极限的四则运算法则，随便找本数学分析的书，都应该会有。

追问

你说的函数我研究了，这个函数的导函数在x=0处依然连续。

追答

f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) x≠0
0 x=0
当x趋于0时，f'(x)不存在极限，故f'(x)在点x=0处不连续。

Answer 2

不是数学专业的就不要太过执拗于定理的证明了，了解就好
主要还是应用

追问

你会证明吗

Answer 3

第一个结论不对
比如狄利克莱函数的lebesgue不定积分函数，它导数几乎处处为狄利克莱函数，但狄利克莱函数处处不连续。
第二问用ε-N定义很容易得到结论。

Answer 4

哦哦