Question

高一数学题 要详细过程 3

1.在△ABC中，若acosA+bcosC=ccosC，则△ABC的形状是什么？

2.在△ABC中，求证a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a)

3.在锐角△ABC中，求证sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC

4.在△ABC中，设a+c=2b,A-C=π（这个是派）/3，求sinB的值

要完整过程做得好追加分
5
1.在△ABC中，A=120°，c＞b,a=√21 S△ABC=√3，求b，c。
2.在锐角△ABC中，求证，tanA×tanB×tanC＞1
3.在△ABC中，求证，sanA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2
4.在△ABC中，若A+B=120°，则求证a/(b+c)+b/(a+c)=1
5.在△ABC中，若acos²C/2+ccos²A/2=3b/2,则求证a+c=2b

一共9道题 全做完100分

Answer 1

1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是什么？
k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

2在△ABC中，求证a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a)
证明:
c(cosB/b-cosA/a)
=c{[(a^2+c^2-b^2)/2ac]/b-[(b^2+c^2-a^2)/2bc]/a}
=(a^2+c^2-b^2)/2ab-(b^2+c^2-a^2)/2ab
=(2a^2-2b^2)/2ab
=(a^2-b^2)/ab
=a/b-b/a
所以a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a)
3.在锐角△ABC中，求证sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
因为△ABC为锐角△
则一百八十度>A+B>九十度
九十度>A>九十度-B
sinA>sin（九十度-B）=cosB
同理可证sinB>cosC,sinC>cosA
所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
4.在△ABC中，设a+c=2b,A-C=π（这个是派）/3，求sinB的值
因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①
由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°，A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2一定是锐角，
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8

5（1）在△ABC中，A=120°，c＞b,a=√21 S△ABC=√3，求b，c
S△ABC=bcsinA/2=bc sin120/2=√3bc/4=√3
所以 bc=4
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+8/2=b²+c²+4=21
b²+c²=17
b+c=5
因为 c＞b
所以 c=4 b=1
（2）在锐角△ABC中，求证，tanA×tanB×tanC＞1

解：tanA=tan[180º-(B+C)]=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1).===>tanA(tanByanC-1)=tanB+tanC.===>tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.因A,B,C均为锐角，故tanA,tanB,tanC＞0.由均值不等式可知，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≥3(tanAtanBtanC)^(1/3).===>(tanAtanBtanC)^(2/3)≥3.===>tanAtanBtanC≥3^(3/2)=3√3,即tanAtanBtanC≥3√3＞1.其中的等号仅当A=B=C=60º时取得。
（3）在△ABC中，求证，sanA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(pi/2-A/2-B/2)=4cos(A/2)cos(B/2)sin(A/2+B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)+sin(B/2)cos(A/2))
=2sinAcos(B/2)^2+2sinBcos(A/2)^2
==>
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-sinA-sinB=sinA(2cos(B/2)^2-1)+sinB(2cos(A/2)^2-1)
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(pi-A-B)=sin(A+B)
==>
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
（4）在△ABC中，若A+B=120°，则求证a/(b+c)+b/(a+c)=1
C=180-A-B=60
由余弦定理:
c^2=a^2+b^2-2abcos60=a^2+b^2-ab
从而ab+c^2+ac+bc=(a^2+ac)+(b^2+bc)(注意:配了一个ac和bc)
(b+c)(a+c)=a(a+c)+b(b+c)
两边同时除以(b+c)(a+c)得到:
a/(b+c)+b/(a+c)=1
（5）.在△ABC中，若acos²C/2+ccos²A/2=3b/2,则求证a+c=2b
a*cos^2(C/2)+c*cos^2(A/2)=3/2*b
a(cosC+1)/2+c(cosA+1)/2=1.5b
acosC+ccosA=3b-a-c
a*(a^2+b^2-c^2/2ab+c*（c^2+b^2-a^2）/2bc
=3b-a-c
2b^2/2b=3b-a-c
b=3b-a-c
a+c=2b

=============================================
[cos(C/2)]^2=(cosc+1)/2
所以原式即a*cosC+a+c*cosA+c=3b
而a*cosC+c*cosA=b (画张图看看就知道这个式子了)
于是化简为a+c=2b,
即得 证

Answer 2

我了个去，你100分为啥不先给出来

追问

我给了

Answer 3

我也是高一的，所以想问你一下，你是哪里的，感觉和你是一个地方的

追问

任丘滴

Answer 4

1.令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

2.证明:
c(cosB/b-cosA/a)
=c{[(a^2+c^2-b^2)/2ac]/b-[(b^2+c^2-a^2)/2bc]/a}
=(a^2+c^2-b^2)/2ab-(b^2+c^2-a^2)/2ab
=(2a^2-2b^2)/2ab
=(a^2-b^2)/ab
=a/b-b/a
所以a/b-b/a=c(cosB/b-cosA/a)

3.证:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>90°
→A>90°-B,∴sinA>sin(90°-B)=cosB,即
sinA>cosB,同理
sinB>cosC,
sinC>cosA
上面三式相加:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

4********

5.S△ABC=bcsinA/2=bc sin120/2=√3bc/4=√3
所以 bc=4
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+8/2=b²+c²+4=21
b²+c²=17
b+c=5
因为 c＞b
所以 c=4 b=1

8.C=180-A-B=60
由余弦定理:
c^2=a^2+b^2-2abcos60=a^2+b^2-ab
从而ab+c^2+ac+bc=(a^2+ac)+(b^2+bc)(注意:配了一个ac和bc)
(b+c)(a+c)=a(a+c)+b(b+c)
两边同时除以(b+c)(a+c)得到:
a/(b+c)+b/(a+c)=1

50分吧，5道题了