Question

1.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OE垂直AB于点E,且AE=AD=20,BE=10,求OE的长

2.AD是三角形ABC的外角角FAC的平分线,CD垂直AD,E为BC中点,AB=13,AC=12.求证:DE//AB,(2)求DE的长度

Answer 1

1.取BC中点F，连接OF，则OF∥AB，且OF＝AB的一半，即OF＝10，可知EF＝5，由勾股定理可得OE为5倍根号3
2.取BC中点G，连接DG、EG，显然EG∥AB，AG＝DG＝CG，∠GAD＝∠GDA，∠CGD＝∠GAD＋∠GDA＝2∠GAD＝∠GAF，即GD∥AB，所以点D、G、E共线，所以DE∥AB。
DE＝1/2AC＋1/2AB＝12.5

Answer 2

1、过D作DF⊥AB，垂足为F，∵OE⊥AB，∴OE∥DF，
在△DFB中∵O是对角线的交点，BO=OD，又OE∥DF，∴FE=EB=10，还有OE=DF/2，
于是AF=AE-FE=20-10=10，
在直角三角形AFD中∵AF=10，AD=20，∴DF=√（20²-10²）=10√3，
在△DFB中，OE=DF/2=5√3。
2、取AC的中点M，连接DM、ME，
∵CD⊥AD，AM=MC，∴DM=AC/2=AM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
那么∠MDA=∠DAM，又∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠DAM=∠MDA，
于是DM∥FA，亦即DM∥AB；
△ABC中，∵M是AC的中点，E是BC的中点，∴ME∥AB，
∵DM∥AB，ME∥AB，∴DM和ME在同一条直线DE上，故有DE∥AB；
显然DE=DM+ME，其中DM=AC/2=12/2=6；ME=AB/2=13/2=6.5，
∴DE=6+6.5=12.5。