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如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径过点D的切线交BC的延长线于点E.若BE⊥DE,
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方法一:
∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥DO,又DE⊥BE,∴DO∥EB,∴∠ODB=∠DBE。
显然有:OD=OB,∠ODB=∠ABD,结合证得的∠ODB=∠DBE,得:∠ABD=∠DBE,
而A、B、C、D共圆,∴AD=DC,又AD+DC=40,∴AD=DC=20。
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。由勾股定理,有:
BD=√(AB^2-AD^2)=√[(2×50/3)^2-400]=√[(100^2-400×9)/9]
=√[(100+60)(100-60)/9]=√(160×40/9)=4×2×10/3=80/3。
∵DE切⊙O于D,∴∠EDC=∠DBE,结合证得的∠ABD=∠DBE,得:∠EDC=∠DBA,
又∠DEC=∠BDA=90°,∴△DEC∽△BDA,∴DE/BD=CE/AD=DC/BA,
∴DE=BD×DC/AB=(80/3)×20/(2×50/3)=16。
CE=AD×DC/AB=20×20/(2×50/3)=12。
由切割线定理,有:DE^2=CE×(BC+CE),
∴BC=(DE^2-CE^2)/CE=(16^2-12^2)/12=(16+12)(16-12)/12=28/3。
由A、B、C、D共圆,得:∠CDB=∠CAB,容易证得:∠ACB=90°,
由勾股定理,有:AC=√(AB^2-BC^2)=√[(2×50/3)^2-(28/3)^2]
=√[(100+28)(100-28)/9]=√(128×72/9)=√(4×64×36/9)=2×8×6/3=32。
∴tan∠CDB=tan∠CAB=BC/AC=(28/3)/32=7/24。
方法二:
∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥DO,又DE⊥BE,∴DO∥EB,∴∠ODB=∠DBE。
显然有:OD=OB,∠ODB=∠ABD,结合证得的∠ODB=∠DBE,得:∠ABD=∠DBE,
而A、B、C、D共圆,∴AD=DC,又AD+DC=40,∴AD=20。
由锐角三角函数定义,有:sin∠ABD=AD/AB=20/(2×50/3)=3/5,
∴cos∠ABD=√[1-(sin∠ABD)^2]=√[1-(3/5)^2]=4/5,
∴sin∠ABC=sin2∠ABD=2sin∠ABDcos∠ABD=2×(3/5)×(4/5)=24/25,
∴cos∠ABC=√[1-(sin∠ABC)^2]=√[1-(24/25)^2]=7/25,
由A、B、C、D共圆,得:∠CDB=∠CAB,由直径AB,得:∠ACB=90°。
∴cos∠ABC=BC/AB,∴BC/AB=7/25,
∴BC=(7/25)AB=(7/25)×(2×50/3)=28/3。
∴tan∠CDB=tan∠CAB=cot∠ABC=cos∠ABC/sin∠ABC=(7/25)/(24/25)=7/24。
∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥DO,又DE⊥BE,∴DO∥EB,∴∠ODB=∠DBE。
显然有:OD=OB,∠ODB=∠ABD,结合证得的∠ODB=∠DBE,得:∠ABD=∠DBE,
而A、B、C、D共圆,∴AD=DC,又AD+DC=40,∴AD=DC=20。
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。由勾股定理,有:
BD=√(AB^2-AD^2)=√[(2×50/3)^2-400]=√[(100^2-400×9)/9]
=√[(100+60)(100-60)/9]=√(160×40/9)=4×2×10/3=80/3。
∵DE切⊙O于D,∴∠EDC=∠DBE,结合证得的∠ABD=∠DBE,得:∠EDC=∠DBA,
又∠DEC=∠BDA=90°,∴△DEC∽△BDA,∴DE/BD=CE/AD=DC/BA,
∴DE=BD×DC/AB=(80/3)×20/(2×50/3)=16。
CE=AD×DC/AB=20×20/(2×50/3)=12。
由切割线定理,有:DE^2=CE×(BC+CE),
∴BC=(DE^2-CE^2)/CE=(16^2-12^2)/12=(16+12)(16-12)/12=28/3。
由A、B、C、D共圆,得:∠CDB=∠CAB,容易证得:∠ACB=90°,
由勾股定理,有:AC=√(AB^2-BC^2)=√[(2×50/3)^2-(28/3)^2]
=√[(100+28)(100-28)/9]=√(128×72/9)=√(4×64×36/9)=2×8×6/3=32。
∴tan∠CDB=tan∠CAB=BC/AC=(28/3)/32=7/24。
方法二:
∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥DO,又DE⊥BE,∴DO∥EB,∴∠ODB=∠DBE。
显然有:OD=OB,∠ODB=∠ABD,结合证得的∠ODB=∠DBE,得:∠ABD=∠DBE,
而A、B、C、D共圆,∴AD=DC,又AD+DC=40,∴AD=20。
由锐角三角函数定义,有:sin∠ABD=AD/AB=20/(2×50/3)=3/5,
∴cos∠ABD=√[1-(sin∠ABD)^2]=√[1-(3/5)^2]=4/5,
∴sin∠ABC=sin2∠ABD=2sin∠ABDcos∠ABD=2×(3/5)×(4/5)=24/25,
∴cos∠ABC=√[1-(sin∠ABC)^2]=√[1-(24/25)^2]=7/25,
由A、B、C、D共圆,得:∠CDB=∠CAB,由直径AB,得:∠ACB=90°。
∴cos∠ABC=BC/AB,∴BC/AB=7/25,
∴BC=(7/25)AB=(7/25)×(2×50/3)=28/3。
∴tan∠CDB=tan∠CAB=cot∠ABC=cos∠ABC/sin∠ABC=(7/25)/(24/25)=7/24。
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