Question

如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径过点D的切线交BC的延长线于点E．若BE⊥DE，

接上
AD+DC=40,⊙O的半径为50／3，求BC的长及tan∠CDB的值

Answer 1

方法一：
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥DO，又DE⊥BE，∴DO∥EB，∴∠ODB＝∠DBE。
显然有：OD＝OB，∠ODB＝∠ABD，结合证得的∠ODB＝∠DBE，得：∠ABD＝∠DBE，
而A、B、C、D共圆，∴AD＝DC，又AD＋DC＝40，∴AD＝DC＝20。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°。由勾股定理，有：
BD＝√（AB^2－AD^2）＝√［（2×50/3）^2－400］＝√［（100^2－400×9）/9］
＝√［（100＋60）（100－60）/9］＝√（160×40/9）＝4×2×10/3＝80/3。

∵DE切⊙O于D，∴∠EDC＝∠DBE，结合证得的∠ABD＝∠DBE，得：∠EDC＝∠DBA，
又∠DEC＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△BDA，∴DE/BD＝CE/AD＝DC/BA，
∴DE＝BD×DC/AB＝（80/3）×20/（2×50/3）＝16。
　CE＝AD×DC/AB＝20×20/（2×50/3）＝12。

由切割线定理，有：DE^2＝CE×（BC＋CE），
∴BC＝（DE^2－CE^2）/CE＝（16^2－12^2）/12＝（16＋12）（16－12）/12＝28/3。

由A、B、C、D共圆，得：∠CDB＝∠CAB，容易证得：∠ACB＝90°，
由勾股定理，有：AC＝√（AB^2－BC^2）＝√［（2×50/3）^2－（28/3）^2］
＝√［（100＋28）（100－28）/9］＝√（128×72/9）＝√（4×64×36/9）＝2×8×6/3＝32。
∴tan∠CDB＝tan∠CAB＝BC/AC＝（28/3）/32＝7/24。

方法二：
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥DO，又DE⊥BE，∴DO∥EB，∴∠ODB＝∠DBE。
显然有：OD＝OB，∠ODB＝∠ABD，结合证得的∠ODB＝∠DBE，得：∠ABD＝∠DBE，
而A、B、C、D共圆，∴AD＝DC，又AD＋DC＝40，∴AD＝20。

由锐角三角函数定义，有：sin∠ABD＝AD/AB＝20/（2×50/3）＝3/5，
∴cos∠ABD＝√［1－（sin∠ABD）^2］＝√［1－（3/5）^2］＝4/5，
∴sin∠ABC＝sin2∠ABD＝2sin∠ABDcos∠ABD＝2×（3/5）×（4/5）＝24/25，
∴cos∠ABC＝√［1－（sin∠ABC）^2］＝√［1－（24/25）^2］＝7/25，

由A、B、C、D共圆，得：∠CDB＝∠CAB，由直径AB，得：∠ACB＝90°。
∴cos∠ABC＝BC/AB，∴BC/AB＝7/25，
∴BC＝（7/25）AB＝（7/25）×（2×50/3）＝28/3。
∴tan∠CDB＝tan∠CAB＝cot∠ABC＝cos∠ABC/sin∠ABC＝（7/25）/（24/25）＝7/24。