Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝5．下

列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正方形ABCD＝4＋6．其中正确结论的序号是 （　　　） 谢谢！

Answer 1

解：由边角边定理易知△APD≌△AEB，故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE= 2 ，
在△BEP中，PB= 5 ，PE= 2 ，由勾股定理得：BE= 3 ，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF= 6 2 ，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE= 3 ，
可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=1 2 + 6 2 ，因此④是错误的；
连接BD，则S△BPD=1 2 PD×BE=3 2 ，
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 6 2 ，
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+ 6 ．
综上可知，正确的有①③⑤．

Answer 2

解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
④如图连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= ，
又∵PB= ，
∴BE= ，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE= ，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP= S正方形ABCD- ×DP×BE= ×（4+ ）- ×（ ）2= 4+根号6 ；

Answer 3

1,3,4

Answer 4

1 3 正确

追问

不好意思6都有根号

Answer 5

3