Question

如图，△ABC的AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE,连接CD、BE，相交于点O.求证OA平分角DOE.

Answer 1

证法1：
因为△ABD、△ACE为等边三角形
所以 AD=AB，AC=AE,角DAB=角CAE=60度,角DAB+角BAC=角CAE+角BAC
所以 角DAC=角BAE,所以 三角形DAC全等于三角形BAE,
所以 角ABO=角ADO,角AEO=角ACO
所以 B，O，A，D四点共圆,C，O，A，E四点共圆
所以 角AOD=角ABD=60°，角AOE=角ACE=60°
所以 角AOD=角AOE=60°，所以 OA平分∠DOE
证法2：
因为△ABD、△ACE为等边三角形
所以 AD=AB，AC=AE,角DAB=角CAE=60度,角DAB+角BAC=角CAE+角BAC
所以 角DAC=角BAE,所以 三角形DAC全等于三角形BAE，
所以 DC=BE 且三角形DAC和三角形BAE的面积相等；
过A分别作DC、BE边上的高AF,AG，则高AF=AG相等，Rt△AOF全等于Rt△AOG,角AOD=角AOE,
于是AO平分角DOE

Answer 2

我的了
易证，EAB与CAD两个三角形全等（不会再追问）
所以，角EBA=角CDA 角DCA=角BEA
所以 OABD四点共圆 OACE四点共圆
所以角DOA=角DBA=60
角EOA=角ACE=60
所以 角DOA=角EOA
原式得证

Answer 3

证明：
过点A作AH垂直于交DC于H，AG垂直于BE交BE于G
易证△ADC≌△ABE（SAS）,DC=BE
∴S△ADC=S△ABE
∴二分之一乘DC乘AH=二分之一乘BE乘AG
∴AH=AG
∴点A在∠DOE的角平分线上
则OA为∠DOE的角平分线