Question

高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时, 证明……

设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时, 证明
（1）an>=n+2
(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2

Answer 1

（1）当n=1时，a1>=3=1+2，an>=n+2成立；
当n >1时，an=（an-1）^2-nan-1+1，令S= an-（n+2）
=（an-1）^2-nan-1+1-（n+2）
=（an-1）^2-(n+1)an-1-1.
我们把S看作是以an-1为变数的二次函数，其中，
二次项系数=1大于0，
△=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)= (n+1)^2+4>0,因此，S>0,
即an>n+2成立。
结合a1>=3有，an>=n+2成立。

Answer 2

1）用数学归纳法。
A（n+1）=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2

（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)<=1/(An+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1/(1+a2)<=1/2*1/4
1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) <=1/4(1+1/2+1/4+.....+1/2^(n-1))<1/4*2=1/2
当且仅当n=1时取等号。

Answer 3

解答：证明：用数学归纳法证明an≥n+2．
①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，
那么，ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2，
根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2．
∵an+1=an2-nan+1=an（an-n）+1，an≥n+2，
∴对k≥2，有ak=ak-1（ak-1-k+1）
≥ak-1（k-1+2-k+1）+1=2ak-1+1，
∴ak≥2k?1a1+2k?2+…+2+1=2k-1（a1+1）-1，
于是
1
1+an
≤
1
1+a1
?
1
2k?1
，k≥2，
∴
n

k＝1
1
1+ak
≤
1
1+a1
+
1
1+a1
?
n

k＝2
1
2k?1
=
1
1+a1
n

k＝1
1
2k?1
≤
2
1+a1
≤
2
1+3
=
1
2
．
∴
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜
1
2
．