Question

lim(x→0) tanx-sinx/x3方

为什么我算出来等于0？？？
(tanx-sinx)/x3=(sinx/(x.cosx)-sinx/x)/x2=(1/cosx-1)x2=0
求指教我出错在哪里了，急！~~

Answer 1

lim(x→0) tanx-sinx/x^3=lim(x→0) tanx(1-cosx)/x^3=lim(x→0) tanx1/2x^2/x^3
=lim(x→0) 1/2 tanx/x=1/2
你的证明最后一步为(1/cosx-1)/x^2=(1-cosx)/x^2cosx=1/2x^2/x^2=1/2,结果是一样的

追问

我知道正确答案，但是我想知道我错在哪里。

追答

我上面已经写了呀,你的最后一步应该是除以x^2,你怎么变成乘了.

追问

就算是除，答案还是0哦

追答

怎么呢cos0=1,可以不管,0/0不一定是0的

Answer 2

解法1：
lim(x→0)( tanx-sinx)/x³=lim(x→0)(sinx/cosx-sinx)/x³
=lim(x→0)sinx(1/cosx-1)/x³
=lim(x→0)[sinx(1-cosx)/cosx]/x³
=lim(x→0)sinx(1-cosx)/(x³cosx)
=lim(x→0)sinx[2sin²(x/2)]/(cosxx³)
=lim(x→0)2sinx sin(x/2)sin(x/2)/(x³cosx)
=lim(x→0)2sinx sin(x/2)sin(x/2)/[4x(x/2)(x/2)cosx]
=lim(x→0)sinx sin(x/2)sin(x/2)/[2x(x/2)(x/2)cosx]
=lim(x→0)(sinx/x)[sin(x/2)/(x/2)][sin(x/2)/(x/2)/(2cosx)
=1×1×1/(2×1)=1/2 (lim(x→0)(sinx/x)=1,lim(x→0)sin(x/2)/(x/2)=1,lim(x→0)cosx=1).
解法2：
0/0型，用洛比达法则，
limt(x-->0)(tanx-sinx)x^3=lim(x-->0)(tanx-sinx)'/(x^3)'=limt(x-->0)[1/(cosx)^2-cosx]/(3x^2)
=limt(x-->0)[1/(cosx)^2-cosx]'/(3x^2)'=limt(x-->0)[2sinx/(cosx)^3+sinx]/(6x)
=limt(x-->0)[2sinx/(cosx)^3+sinx]'/(6x)'=limt(x-->0){2[(cosx)^4+3(sinxcosx)^2]/(cosx)^3+cosx}/6
=limt(x-->0)[2(1+0)+1]/6=3/6=1/2

追问

我知道正确答案，但是我想知道我错在哪里。

Answer 3

lim(x→0)( tanx-sinx)/x3
=lim(x→0)sinx(1-cosx)/(cosxx^3)(运用等价无穷小代换）
=lim(x→0)1/2*x*x^2/(cosxx^3)
=lim(x→0)1/(2cosx)
=1/2

追问

我知道正确答案，但是我想知道我错在哪里。