Question

如图四边形ABCD是菱形，点E为A,B的中点，延长CD至F，是DF=1/2CD，连接EF分别交AD，AC于点M,N

（1）求AC垂直于EF
（2）若AB=4，角ABC=60度，且P为AC上的一点（P与A不重合）连接PB和PE可得三角形PBE，求三角形PBE周长的最小值
急

Answer 1

（1）连接BD交AC于O，因为四边形ABCD是菱形，所以两对角线互相平分且垂直，AC⊥BD， AB∥CD，CD=AB,
又 DF=1/2CD，DF=1/2AB， E为AB的中点，所以BE=DF ，所以EBDF为平行四边形, EF∥BD，AC⊥EF
（2）连接M和B点交AC于P. 此时三角形PBE周长的最小值,连接D点与BC中点R，并交AC与Q，则BRDM为平行四边形，BM∥RD，AM/MD=AP/PQ=1 AP=PQ 。 同理可得 CR/RB=CQ/PQ=1，
CQ=PQ ，AP=PQ =CQ=1/3AC。△CBQ ≌AEP， RQ=PE
而RQ=1/2BP ,所以PE=1/2BP
PE=根号（AE²+AP²-2*AE*APcos60）=根号（2²+(4/3)²-2*（4/3））=2*（根号7）/3
PB=4*（根号7）/3
△PBE周长的最小值=EB+PB+PE=2+2*根号7

Answer 2

（1）因为四边形ABCD是菱形 所以AB平行于DC
因为E为AB中点 所以EB=1/2AB
所以EB平行等于FD 所以四边形EBDF是平行四边形
所以EF平行于BD
因为四边形ABCD是菱形 所以AC与BD垂直
所以AC与EF垂直
（2）设G是AD中点
因为E为AB中点 所以EG平行于BD
因为AC与BD垂直 所以EG与AC垂直
因为AE=AG 所以AC垂直平分EG
所以PE=PG
所以三角形PBE周长=PB+PE+EB=PB+PG+EB大于等于GB+EB
所以三角形PBE周长的最小值=GB+EB=2根号7+2

Answer 3

EN 平行 DB (因为 BE 等于平行于 FD ,BEFD是平行四边形)
BD 垂直AC 故 EN 垂直 DB.
由于菱形对称性
PB=PD
PB+PE=PD+PE
两点之间直线最短：最短就是DE的长 周长：2+2 乘 根号7
看着给点分吧，第一次回答问题。。。。

Answer 4

（1）由题意知DF//BE DF=EB
所以平行四边形FDBE
所以EF//BD
因为菱形ABCD
所以AC垂直于BD
所以AC垂直于EF

Answer 5

因为ABCD是菱形，所以AC与BD垂直且相互平分，且AB=CD，AB平行于CD，也可得出DF=BE，所以DFEB是平行四边型，所以EF与BD平行，因为AC垂直于BD，所以EF垂直于AC；
求PEF周长最小即为P在NB连线上，可以由对称和两点之间直线最短求得，最小值是2+2乘以根号7

Answer 6

关于第二个问题，你可以连接p与n，PN=PE,所以周长PE+PB+EB=PN+PB+EB，EB为常数2，PN+PB的最少值很明显就是BN（两点之间直线最短），各种算BN的方法，可以过点n作DB的垂线，BN=。。。=2根号7. 周长=2+2根号7