Question

若a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=14,a^3+b^3+c^3=36,试求1/a+1/b+1/c的值。

（要过程，简单易懂）

Answer 1

2ab=(a+b)^2-a^2-b^2=(6-c)^2-a^2-b^2=36-12c+c^2-a^2-b^2=36-12c+c^2-(14-c^2)=2c^2-12c+22
ab=c^2-6c+11
abc=c^3-6c^2+11c
同理 abc=b^3-6b^2+11b
abc=a^3-6a^2+11a
以上三式相加并除以3得 abc=12-28+22=6
又由于 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=22
所以 ab+bc+ca=11
因此，1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/(abc)=11/6

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac=36
=>ab+bc+ca=(36-14)/2=11
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^c+3bc^2+6abc
=3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-2(a^3+b^3+c^3)+6abc=216
=>abc=6
所以1/a+1/b+1/c=ab+bc+ca/abc=11/6