Question

在线解答数学题

已知a.b都是正数，并且A不等于B求。证 a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2 解答提第一个。

解关于x的不等试x-1分之ax-2<1
{a属于r}在三角行ABC中 ，角A、B、C所对应的边为abc
《1》问若sin(A+6分之π）=2cosA求A的值
《2》若cosA=3分之1 b=3c 求sin C的值
两道题

Answer 1

1 已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2
由题意可知
(a^5+b^5)-(a^2b^3+a^3b^2)
=(a^5-a^3b^2)-(a^2b^3-b^5)
=a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)(a²+ab+b²)(a-b)(a+b)
=(a-b)²(a²+ab+b²)(a+b)
∵a≠b，(a-b)²>0，a²+ab+b²=(a+(b/2))²+(3b²/4)>0，a+b>0
∴(a-b)²(a²+ab+b²)(a+b)>0
∴(a^5+b^5)-(a^2b^3+a^3b^2)>0
∴a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2

2 原不等式等价于(ax-2)(x-1)＜0
①当a＜0时
原不等式即(x-2/a)(x-1)＞0
∴x＞1或x＜2/a
②当a=0时，
原不等式即-2(x-1)＜0
即x-1＞0
∴x＞1
③当0＜a＜2时，
原不等式即(x-2/a)(x-1)＜0
由于0＜a＜2，∴2/a＞1
∴此时1＜x＜2/a
④当a=2时，
原不等式即2＜0，
此时不等式解集为空集
⑤当a＞2时，0＜2/a＜1
∴2/a＜x＜1

3 （1）sinAcos30+cosAsin30=2cosA
√3/2sinA-3/2cosA=0
√3/2（sinA-√3cosA）=0
sinA=√3cosA
sinA/cosA=tanA=√3
A=30°

（2）COSA=(b²+c²—a²）/2bc=1/3
a=2√2c
cosC=（b²+a²-c²）/2ab=4/（3√2）
sinC=√（1-cos²C）=1/3

Answer 2

证明：
由于a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)
=a^2(a^3-b^3)+b^2(b^3-a^3)
=(a^2-b^2)(a^3-b^3)
=(a+b)(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
因为a>0,b>0,a≠b
所以 a+b>0, (a-b)^2>0, a^2+ab+b^2>0
所以a^5+b^5-(a^2b^3+a^3b^2)>0
所以a^5+b^5>(a^2b^3+a^3b^2)
证毕
第二题，不等式求解
不等式化简得
[(a-1)x-3]/(x-1)<0
a=1时
得-3/（x-1）<0
x>1
当a≠1时，且a<4时，

Answer 3

1、作差。a^5＋b^5－a²b³－a³b²=(a^5－a²b³)＋(b^5－a³b²)=a²(a³－b³)＋b²(b³－a³)=(a³－b³)(a²－b²)=(a－b)(a²＋ab＋b²)(a＋b)(a－b)=(a－b)²(a＋b)(a²＋ab＋b²)>0；
2、(ax－2)/(x－1)<1
(ax－2)/(x－1)－1<0
[(a－1)x－1]/(x－1)<0
①若a=1，则解集是{x|x>1}；
②若a=2，则解集是空集；
③若a<1，则解集是{x|x>1或x<1/(a－1)}；
④若1<a<2，则解集是{x|1<x<1/(a－1)}；
⑤若a>2，则解集是{x|1/(a－1)<x<1}
3、
①sin(A＋30°)=2cosA
(√3/2)sinA＋(1/2)cosA=2cosA
(√3/2)sinA=(3/2)cosA
tanA=sinA/cosA=√3
A=60°
②cosA=1/3
sinA=2√2/3，b=3c则sinB=3sinC即：sin(A＋C)=3sinC
sinAcosC＋cosAsinC=3sinC
(2√2/3)cosC＋(1/3)sinC=3sinC
(2√2/3)cosC=(8/3)sinC
tanC=sinC/cosC=√2/4
sinC=√2/√18 =1/3

Answer 4

已知a.b都是正数，并且a不等于b 。求证 a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2
证: a 不等于 b.
若 a > b, a^3 - b^3 > 0, a^2 > b^2 ==> a^2(a^3 - b^3) > b^2(a^3 - b^3)
==> a^5 - a^2 * b^3 > a^3 * b^2 - b^3
==> a^5 + b^5 > a^3 * b^2 + a^2 * b^3
若 a < b, similar.

(ax-1)/(x-1) < 1
若 x < 1, ax-1 > x-1, (a+1)x > 0, (1). 若a>-1, 解为 0 < x < 1. (2), 若a<-1, 解为 x<0
若 x > 1, ax-1 < x-1, (a+1)x < 0. (1). 若a>-1, 无解 (2). 若a<-1, 解为 x > 1

(1). 若sin(A+6分之π）=2cosA, sinAcosπ/6 + cosAsinπ/6 = 2cosA
sinA * 3^(1/2) /2 + cosA * (1/2) = 2 cosA, sinA * 3^(1/2) /2 = (3/2)cosA
tanA = (3/2)/(3^(1/2) /2) = 3^(1/2)
A = π/3
(2). cosA=1/3, sinA = (1-(1/3)^2)^(1/2) = (2/3)2^(1/2)
By Cosine Law, cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = 1/3
(9c^2 + c^2 - a^2)/(6c^2) = 1/3
5/3 - (1/6)(a/c)^2 = 1/3
(a/c)^2 = 8
(a/c) = 2*2^(1/2)
By Sine Law, a/sinA = c/sinC
sinC = sinA /(a/c) = 1/3

Answer 5

a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2
可变为求证a^5+b^5-a^2b^3-a^3b^2>0
a^5+b^5-a^2b^3-a^3b^2=a^2（a^3-b^3）-b^2(a^3-b^3)=(a^2-b^2)(a^3-b^3)
因为a，b都是正数，且a不等于b，可以分类讨论
a>b时，(a^2-b^2)>0，(a^3-b^3)>0
(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0
a<b时，(a^2-b^2)<0，(a^3-b^3)<0
(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0
所以a，b都是正数，且a不等于b时(a^2-b^2)(a^3-b^3)恒大于0，原式可证

第2题按x>1,x<1和x=1分类讨论
x=1无意义，x>1时x-1>0，不等式化为ax-2<x-1，即（a-1）x<1
然后再对a>1,a<1,a=1分类讨论，a=1时不等式左边恒为零，x取任意实数都成立
a<1时a-1<0,x>1/(a-1)，a>1时，x<1/(a-1)
x<1的情况方法同上。
第三题1用三角函数和化积公式
sin(A+π/6）=sinAcosπ/6+cosAsinπ/6=2分之根号3 sinA+1/2 cosA=2cosA
得到2分之根号3 sinA=3/2cosA
把cosA移到方程左边，2分之根号3 移到方程右边，得到sinA/cosA=根号3
sinA/cosA=tanA=根号三，A又是三角形里的角，A<180度，所以A=60度。
第2题首先利用余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA
a²＝（3c）²＋c²－2（3c）ccosA=10c²-6c²·1/3=8c²
所以a=根号8·c=2倍根号2·c
然后再用正弦定理a/sinA=c/sinC
可以得到sinC=c/a·sinA=三分之二倍根号2（三分之根号8）

自己做的，如果满意请选为答案，谢谢。

Answer 6

(a^5+b^5)-(a^2b^3+a^3b^2 )
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)(a+b)>0