Question

用数学归纳法、证明不等式

1/(n+1）+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/3n＞5/6 (n≥2）

Answer 1

1.)当n=2时
原式=1/3+1/4+1/5+1/6=57/60 >5/6
2.)假设当n=k时，（k为任意大于2的数）存在
1/(k+1）+1/(k+2)+1/(k+3)+…+1/3k ＞5/6
3.)所以，当n=k+1时
原式=1/(k+2）+1/(k+3)+1/(k+4)+…+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)
（从这里我们可以看出，只要证明1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)>1/(k+1)那么这个不等式必然成立）
所以由1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)-1/(k+1)=1/(3k+1)-1/(3k+3)+1/(3k+2)-1/(3k+3)>0
不等式得证

中间你可以再加几句啥啥推出啥的（打字太麻烦我就不详细写出来了）然后就可以啦~）
希望可以帮到你~

Answer 2

证明：
设不等式左边=f(n)
n=2时 f(2)=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20>5/6
假设当n=k 时 f(k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/3k>5/6 成立
则 当n=k+1时
f(k+1)=1/(k+1+1) +1/(k+1+2)+......+1/(3k+1-1)+1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)
f(K+1)=f(k)+1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)-1/(k+1)
又1/(3K+1)+1/(3K+2)+1/(3K+3)-1/(k+1)>0
f(k)>5/6
所以f(k+1)>5/6
所以原不等式成立

追问

O(∩_∩)O~

谢谢了哦

Answer 3

不等式的右边是常数，因此不能用数归来做。
令Sn=1/(n+1）+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/3n则S（n+1）=1/(n+2）+1/(n+3)+1/(n+3)+…+1/（3n+3）
S（n+1)-Sn=1/（3n+1）+1/（3n+2）-2/（3n+3）＞0
∴Sn单调递增
当n=2时，左边=1/3+1/4+1/5+1/6＞5/6
∴原不等式成立

青纭回答的最后两步错了

Answer 4

1.当n=2时，有1/3+1/4+1/5+1/6=57/60>5/6，命题成立。
2.假设当n=k时，命题成立，即有1/(k+1)+1/(k+2)+^+1/3k>5/6，则当n=k+1时，1/(k+2)+1/(k+3)+^+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)=1/(k+1)+1/(k+2)+^+1/3k+{1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)-1/(k+1)}，只要证1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)-1/(k+1)>0，而1/(3k+1)>1/(3k+3)，1/(3k+2)>1/(3k+3)，有1/(3k+1)+1/(3k+2)+1/(3k+3)>3*1/(3k+3)=1/(k+1)，得证。
3.综上，命题对于n≥2均成立。

Answer 5

证明：设f(n)=(1/n+1)+(1/n+2)+......+(1/3n),n≥2
（1）因为n≥2， 当n=2时
则 f(2)--5/6=1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9-5/6
=（1/ 5+1/7）+（1/3+1/9）+（1/4+1/8）-（5/6-1/6）
=（1/ 5+1/7）+4/9+3/8-2/3
=12/35 +3/8 -2/9
=12/35 +11/72 >0
所以，原不等式成立。
（2）假设当n=k时，（k为任意大于2的数）存在
1/(k+1）+1/(k+2)+1/(k+3)+…+1/3k ＞5/6
当n=k+1时，
f(k+1)=(1/k+2)+......+(1/3k)+(1/3k+1)+(1/3k+2)+(1/3k+3)
∴f(k+1)-f(k)=(1/3k+1)+(1/3k+2)+(1/3k+3)-(1/k+1)
＞(1/3k+3)+(1/3k+3)+(1/3k+3)+(1/k+1)=0
∴f(n)在N+上是单调递增的
故f(n)＞f(2)＞1/3+1/4+1/5+1/6=57/60＞5/6
所以，原不等式成立。