Question

求这几道微积分题的解答。

如图

Answer 1

∫[0,a]√(a^2-x^2)dx=a^2∫[0,a]√[1-(x/a)^2]d(x/a)
x/a=sinu x=a,u=π/2，x=0,u=0
=a^2∫[0,π/2]cosudsinu
=a^2∫[0,π/2](1+cos2u)du/2
=a^2π/4

y=∫[0,x](t-1)(t-2)dt=∫[0,x] (t^2-3t+2)dt=x^3/3-3x^2/2+2x
y'=(x-1)(x-2),x=1,y极值=7/3-3/2=5/6
x=2 y极值=8/3-6+4=2/3

∫[0,y]e^tdt+∫[0,x] costdt=0
e^y+sinx=0
e^y=-sinx
y=ln|-sinx| y'=-cosx/-sinx=cotx

∫dx/(1+√x)=∫2√xd(√x)/(1+√x)=2-∫d√x/(1+√x)=2-ln(1+√x)

∫xarctanxdx=(x^2/2)arctanx-(1/2)∫x^2dx/(1+x^2)=(x^2/2)arctanx-1/2+(1/2)∫dx/(1+x^2)
=(x^2/2-1/2)arctanx-1/2+C
∫[0,1]xarctanxdx=-1/2

Answer 2

解答：
(1)原不定积分=∫a²√[1-(x/a)²]d(x/a)=a²arcsin（x/a），∴原式=πa²/2；
(2)y=x³/3-3x²/2+2x，y'=（x-1）（x-2），易知y增区间为x≥2或x≤1，减区间为(1，2)，
因此，当x=1时，函数取得极大值5/6，当x=2时取得极小值2/3；
(3)原式化简得e^y-1+sinx=0，设F=e^y-1+sinx，则隐函数y的一阶导数= - Fx/Fy= - cosx/(e^y);
(4)设√x=t，则dx=2tdt，原式=∫ 2t/(t+1)dt=∫ [2-2/(t+1)]dt=2t-2ln(t+1)=2√x-2ln(√x+1)，
定积分为2-2ln(3/2)；
(5)利用分部积分，原式=1/2 ∫ arctanxd(x²)= 1/2[(x²+1)arctanx-1],定积分=(π-2)/4；
(6)设x²=tant，则dx=sec²tdt，原式=∫ costdt=sint=sin（tanx），定积分=sin（tan1）；
(7)原式=∫ 1/(lnx)²d（lnx）=-（1/lnx），则定积分=e