Question

2道求极限的高数题

1、x趋于0，(tanx-sinx) / (1-cos2x) , 这题答案写着是1/8, 但是我算得0……郁闷；
2、x趋于1，(1-x)tan(xpi/2) , 答案不记得了，xpi是x乘以π（派）。

求高数帝讲解解题思路与过程。
感激不尽！

Answer 1

1.你算的是对的，答案错了。
原式
= (tanx-sinx)/(1-1+2(Sinx)^2)
= (tanx-sinx)/(sinx)^2
= ((tanx-sinx)cotx)/(cotx(sinx)^2)
= (1-cosx)/(sinxcosx)

用洛必大法则,
(1-cosx)'/(sinxcosx)'
= sinx/(2(cosx)^2-1)
= 0/(2-1)
= 0

2.
lim(1-x)×tan(πx/2) (0×∞型)
x→1
=lim[tan(πx/2)]/[1/(1-x)] (∞/∞型)
x→1
=lim[(π/2)sec²(πx/2)]/[1/(1-x)²] (∞/∞型)
x→1
=lim[(π/2)(1-x)²]/[cos²(πx/2)] (0/0型)
x→1
=lim[-π(1-x)]/[-2cos(πx/2)sin(πx/2)(π/2)] (0/0型)
x→1
=lim 2(1-x)/sin(πx) (0/0型)
x→1
=lim -2/πcos(πx) (0/0型)
x→1
=2/π

追问

大哥怎么做到的？ 怎么能这么快？？？？？神啊！给你跪下了

追答

一道做过，一道看到过。。。我是考研的- -

追问

你用哪本书？？？我也考研……但是没买考研资料，我看课本的都能遇到一样的题？

Answer 2

第一个用等价无穷小量替换啊。
但是你不能把TAN X和SIN X都用X替换啊。
因为是相减的啊。只有乘除才能替换。
用万能公式试下。
第二题。。。让我好好想想。我是高三毕业的。自学高数。。见谅。

追问

第一题我算不出，我算得0，但是答案是1/8

追答

分子提取TANX 然后就有1-COSX 了啊 ，然后用等价无穷小量啊。

Answer 3

1、0比0型，洛必达法则，先化简
=(sinx/cosx-sinx)/2(sinx)^2
=(1-cosx)/(2sinx*cosx)
=(1-cosx)/sin2x
=lim(sinx/(2cos2x))
=0 是0啊
2、=（1-x)sin(pix/2)/cos(pix/2) 0比0型
=（1-x)/cos(xpi/2)*sin(xpi/2)==（1-x)/cos(xpi/2)
=1/(-pi/2*sin(xpi/2))=-2/pi

Answer 4

2、换元令t=1-x
=lim(t--->0)tcos(派t/2)/sin(派t/2)
=2/πlim(t--->0)cos(派t/2)/[sin(派t/2)/[派t/2]]=2/π