Question

解方程：（x分之x-1）-（x+1分之1-x)=(2x+2分之5x-5) 要求过程详细！~~~

先阅读下面解方程：（x分之x-1）-（x+1分之1-x)=(2x+2分之5x-5)的过程，然后回答问题。
解：将原方程整理为：（x分之x-1）+（x+1分之x-1)=(2（x+1）分之5（x-1）)······第一步
方程两边同除以（x-1），得（x分之1）+（x+1分之1)=(2（x+1）分之5)······第二步
去分母，得2(x+1)+2x=5x······第三步
解这个方程，得x=2.
上面的解题过程中：
（1）第三步变形的依据是？
（2）出现错误的一步是？
（3）方程的正确解应时？
（4）上述解题过程还缺的一步是？
（1）的依据应该是什么意义或性质吧·····

Answer 1

(x-1)/x-(1-x)/(x+1)=5(x-1)/2(x+1),
(x-1)/x=5(x-1)/2(x+1)+(1-x)/(x+1)=(5/2-1)(x-1)/(x+1)=3(x-1)/2(x+1),
当x=1时，方程左右均等于0，等式成立。
当x不等于1时，方程左右各除以(x-1)得，
3/2(x+1)=1/x，3x=2(x+1),
x=2，
所以方程的根有两个，x=1和x=2.

1）通分，方程左右同乘以2x(x+1)

2）“ 方程两边同除以（x-1）”

当x=1时无意义。
3）方程的根有两个，x=1和x=2.

4）缺检验一步，带入根验证。

追问

（1）的依据应该是什么意义或性质吧··

追答

方程的两边同乘以一个不为零的数，等式仍然成立。
因为x和x+1都出现在分母上，所以均不为零。

Answer 2

（x分之x-1）-（x+1分之1-x)=(2x+2分之5x-5)
(x-1)/x-(1-x)/(x+1)=(5x-5)/(2x+2)
(x-1)/x+(x-1)/(x+1)-5(x-1)/2(x+1)=0
(x-1)/x+(x-1)/(x+1)(1-5/2)=0
(x-1)[1/x-3/2(x+1)]=0
(x-1)[(2x+2-3x)/x(x+1)]=0
(x-1)(2-x)=x(x+1)
-x²+x-2=x²+x
-2x²-2=0
x²=-1
∴原方程无解。

Answer 3

（x分之x-1）-（x+1分之1-x)=(2x+2分之5x-5)
(x-1)/x-(1-x)/(x+1)=(5x-5)/(2x+2)
(x-1)/x+(x-1)/(x+1)-5(x-1)/2(x+1)=0
[2(x-1)(x+1)-3x(x-1)]/2x(x+1)=0
2(x-1)(x+1)-3x(x-1)=0
（x－1)[2(x+1)-3x]=0
(x-1)(2x+2-3x)=0
(x-1)(2-x)=0
∴x＝1或x＝2
即：x1＝1
x2＝2

Answer 4

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Answer 5

（1）两边同时乘以2X（X+1）
（2）第二步，没有考虑到两边要同时除以不为零的数
（3）解：将原方程整理为：（x分之x-1）+（x+1分之x-1)=(2（x+1）分之5（x-1）)······第一步
①当x不等于1时，方程两边同除以（x-1），得（x分之1）+（x+1分之1)=(2（x+1）分之5)······第二步
去分母，得2(x+1)+2x=5x······第三步
解这个方程，得x=2.
②当X=1时，这个方程恒成立。
（4）缺了当X=1时的情况。

追问

（1）的依据应该是什么意义或性质吧··

追答

根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数，叫做通分。