Question

已知函数f(x)=(x-a)/lnx,其中a为实数。 （i)当a=2时，求y=f(x)在点（2，f(x) )处的切线方程？

（i i) 当0<X<1时，f(x)>√x恒成立，求a的取值范围？

Answer 1

(1).a=2代入f（x）=(x-2)/inx x=2时，f(2)=0 f'(x)=1/lnx-(x-2)/(xlnx^2) 所以f'(2)=1/ln2
所以切线为 y=1/ln2(x-2)
(2).即a>x-√xlnx对 0<X<1恒成立。记g(x)=x-√xlnx 所以a>g(x)max
下面求g(x)最大值：g'(x)=(2√x-lnx-2)/2√x
令g'(x)>0 得2√x-lnx-2>0 记h(x)=2√x-lnx-2 所以h'(x)=(√x-1)/x 显然当x=1取最小值。所以h(x)min=h(1)=0 从而h(x)>=0 当且仅当x=1取0，即g'(x) >=0在0<X<1恒成立。所以g(x)单调递增
所以g(x)max=g(1)=1 所以a>=1（取等号的原因是x在端点1处取不到）