Question

设函数f(x)在R上是奇函数,若当 x属于(0,+无穷)时2xf‘(x)+f(2x)<0

f（-2）=0，求x*f（2x）＜0的解集

Answer 1

x属于(0,+无穷)时
2xf‘(x)+f(2x)<0 (1)
f(x)在R上是奇函数，则f'(x)为偶函数
x属于(-无穷, 0)时
2(-x)*f'(-x)+f(-2x)<0
-2xf'(x)-f(2x)<0
2xf‘(x)+f(2x)>0 (2)
由x*f(2x)<0得到如下两种情况
(1) x<0 f(2x)>0
代入(2) 得 f'(x)<0 单减
则由f(2x)>f(-2)>0
知2x<-2 x<-1
(2) x>0 f(2x)<0
代入(1) 得f'(x)<0 单减
由已知f(-2)=-f(2)=0 f(2)=0
则由f(2x)<f(2)=0 2x>2 x>1
综上：解集是{x|x<-1或x>1}
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

设F(x)=xf(2x)，则F'(x)=2xf'(x)＋f(2x)<0，即：F(x)在区间(0，＋∞)上递减，因f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数，且F(－2)=0，则不等式xf(2x)<0就是F(x)<0，等价于：|x|>2，则解集是{x|x>2或x<－2}