Question

求助~二阶偏导数的问题

设z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)具有二阶连续偏导数.求复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]一,二阶偏导数. 一阶偏导数是这样 ∂z/∂x=f1'∂φ/∂x+f2'∂ψ/∂x, 为什么二阶偏导数变成这样子啊? ∂z^2/∂x^2=(f''11∂φ/∂x+f''12∂ψ/∂x)∂φ/∂x+f''1∂φ^2/∂x^2+(f''21∂φ/∂x+f''22∂ψ/∂x)∂ψ/∂x+f'2 ∂ψ^2/∂x^2
f'1表示对第一个变量u的偏导数,其余类似.

Answer 1

f1'仍然是u,v的复合函数
把f1'看成f1'(u,v),那么∂f1'(u,v)/∂x=f11''∂φ/∂x+f''12∂ψ/∂x
∂(f1'∂φ/∂x)/∂x=(f11''∂φ/∂x+f''12∂ψ/∂x)∂φ/∂x + f1'∂φ^2/∂x^2
后面的那个类似处理

追问

那请问为什么求完第一次偏导数以后f'1还是关于u v的函数呀~?

追答

f1'实际上等于(∂f/∂u),你不能保证里面没有u和v
比如f(u,v)=u^2+uv^2,那么∂f/∂u=2u+2uv
从另外一个角度讲，即使∂f/∂u不再是u或v的函数(比如f恰好=u+v)，把f'1当成u v的函数也不会出错,套用上面的公式∂f1'(u,v)/∂x=0

Answer 2

∂z/∂x=f1'∂φ/∂x+f2'∂ψ/∂x,你所要的二阶偏导数，不是两同时对x求导吗？f1'∂φ/∂x，这是一个积式求导（（uv）'=u'v+uv')，自然是等于(f''11∂φ/∂+f''12∂ψ/∂x)∂φ/∂x+f''1∂φ^2/∂x^2+(f''21∂φ/∂x+f''22∂ψ/∂x)∂ψ/∂x+f'2 ∂ψ^2/∂x^2.先是f''11，f''12，然后是f''21，f''22.