Question

几何证明题：

已知等边三角形ABC,D是BC上一点，角ADE等于60度，边DE与角ACB的外角平分线交与E点。（1）求证：AD等于DE。 (2)若D是CB的延长线上的一点、（1）中的结论是否仍然成立，给出证明

Answer 1

1.证明：连接AE，AC于DE交于G
∵∠ADE=ACE=60°
∴A、D、C、E四点共园
∴∠CDE=∠CAE
∵∠CDE+∠DEC=60°
∴∠CAE+∠DEC=60°
∵在△ADG和△ECG中，∠ADG=∠GCE=60°，∠AGD=∠CGE
∴∠DAG=∠DEC
∴∠DAG+∠CAE=∠DAE=60°
∵∠ADE=60°
∴∠DEA=180°-∠DAE-∠ADE=60°=∠ADE=∠DAE
∴AD=DE
2.等式同样处理
证明：连接AE，AC于DE交于G
∵∠ADE=ACE=60°
∴A、D、C、E四点共园
∴∠DAE=∠DCE=60°
∴∠DEA=180°-∠DAE-∠ADE=60°=∠ADE=∠DAE
∴AD=DE

追问

这是初一期末考试题，能尽量用初一学生能看得懂的方法解吗？

Answer 2

连接AE，设AC、DE的交点为P
∠BAD+∠ADB=120°=∠ADB+∠EDC
所以∠EDC=∠BAD

又因为∠ADE=∠ACE=60°，所以△APD∽△EPC，所以△APE∽△DPC
所以∠EAC=∠EDC=∠BAD
所以∠EAD=∠EAC+∠DAC=∠BAD+∠DAC=60°
所以△EAD为正三角形
AD=DE

第二问
依旧成立,
连接AE，设AC、DE的交点为P

因为∠ADE=∠ACE=60°，所以△ACP∽△EDP，所以△APE∽△CPD
所以∠EAC=∠ECD=60°
所以△EAD为正三角形
AD=DE