Question

数学:已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.

若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,求证:BM=DM且BM⊥DM.
点击以下链接看图:http://yjzzrtt.xiangshu.com/blog.php?do_showone/tid_21269.html

Answer 1

原题无误！！

由题意知：
M是CE中点，而△CDE与△EBC是直角三角形，所以EM=MC=MD=MB，所以BM=DM

以M点为圆心，MC为半径做圆，则D、B、C、E均在所作的圆周上，因为M是圆心，则∠BMD＝2∠BCD，而∠BCD＝45度，则∠BMD＝90度，所以BM⊥DM

Answer 2

题是否有误？
M是EC中点，△BEC与△DEC均为RT三角形，所以DM=1/2EC=BM
角DME=1/2（180-DEM）
角BME=1/2（180-MEB）
BMD=180-1/2（DEM+MEB）=112.5

Answer 3

（1）BM与DM的关系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M为EC的中点，
∴BM=MC=12EC，DM=MC=12EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=DM，BM⊥DM．

（2）（1）中的结论还成立，
理由是：取AC的中点F，AE的中点G，连接DG、GM、BF、MF，
∵M为EC的中点，
∴MF∥AC，MG=12AC，
∵∠ABC=90°，F为AC中点，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=12AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵MF∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGM=∠DAF=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中
DG=MF∠DGM=∠MFBGM=BF，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG∥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°-90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的结论还成立；