Question

初二数学难题

（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
谢谢回答，请做一下三、四两问

Answer 1

（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）可根据（1）中的相似三角形BAE和CDA得出关于AB，BE，CD，AC的比例关系，AB，AC可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m，n的函数关系式．
（3）根据（2）的函数关系式，即可求出BE，CD的长，从而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的长，那么可通过计算得出本题的结论．
（4）根据旋转角，我们知道HB⊥BD，那么DH2=BH2+BD2，而BH=CE，于是关键是证明HD=DE，连接AH，DH那么可通过证三角形AHD和ADE全等来求解．解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴ ．
由依题意可知CA=BA= ．
∴ ．
∴m= ．
自变量n的取值范围为1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m= ，
∴m=n= ．
∵OB=OC= BC=1，
∴OE=OD= -1．
∴D（1- ，0）．
∴BD=OB-OD=1-（ -1）=2- =CE．
DE=BC-2BD=2-2（2- ）=2 -2．
∵BD2+CE2=2BD2=2（2- ）2=12-8 ，DE2=（2 -2）2=12-8 ，
∴BD2+CE2=DE2．

（4）成立．
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中．
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2．
∴BD2+CE2=DE2．

Answer 2

1.三角形ADE相似与形CDA，三角形ADE相似与三角形BEA
证明：
因为三角形ABC全等与三角形GFA
所以角C=角DAE
因为角ADE是公共角
所以三角形ADE相似与形CDA

Answer 3

大概是三角形abd和三角形ade 三角形abe和三角形adc证明不会

Answer 4

这问题有点胡咋 ，明天帮你解答。