Question

用数学归纳法证明：若f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,则n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)（n大于等于2，n∈N+

Answer 1

1.当n=2时，等式显然成立。
2.假定当n=k时，等式成立。即k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k);
当n=k+1时，左边=（k+1）+f(1)+f(2)+...+f(k-1）+f(k）
=1+kf（k）+f（k）（根据上述假定）
=1+（k+1）f（k）；
右边=（k+1）f（k+1）
=（k+1）（f（k）+1/(k+1)）
=1+（k+1）f（k）；
左边=右边 因此该等式在n=k+1时也成立。
综上，命题得证。

Answer 2

1.当n=2时，有f(1)=1, f(2)=1+1/2, 2f(2)=3=2+f(1)
上式显然成立
2.假设n大于等于2时，nf(n)=n+f(1)+f(2)+…+f(n-1) 成立，
则有(n+1)f(n+1)= (n+1)* (1+1/2+1/3+1/4+…+1/n-1+1/n)
=n*(1+1/2+…+1/n) + (1+1/2+…+1/n) + n*(1/n+1) +(1/n+1)
=nf(n) + f(n) + 1
=f(1) +f(2) +f(3)+ …+f(n)+(n+1)
综上，n=2时，上式成立，
n大于2时，由递推关系知，上式也成立；
故上式对n（n大于等于2，n∈N+）恒成立

Answer 3

f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n
f(n)=f(n-1)+1/n
证明：(1)
f(1)=1
f(2)=1+1/2
2f(2)=2(1+1/2)=3
2+f(1)=2+1=3
2+f(1)=2f(2) n=2时成立
（2）
设n=k时成立
k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k) （k≥2）
则n=k+1时
左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)
=[k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)]+f(k)+1
=kf(k)+f(k)+1
=(k+1)f(k)+1
右边=(k+1)f(k+1)
=(k+1)[f(k)+1/(k+1)]
=(k+1)f(k)+1
左边=右边
所以
n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)（n≥2)成立